90. Пример. Притяжения, пропорциональные расстояниям.
Найти положение равновесия материальной точки, притягиваемой неподвижными центрами пропорционально расстояниям и массам притягивающих центров.
Пусть 
(рис. 64) — неподвижные центры и 
их массы. Силы притяжения 
действующие на материальную точку М, направлены по 
их величины равны соответственно
где
Рис. 64.
Пусть 
— координаты притягивающих центров, 
— координаты точки М. Проекции силы 
на оси координат равны проекциям соответствующих отрезков 
умноженным на 
Следовательно, они равны
Отсюда для проекций равнодействующей получаем
где суммирование распространено на все силы, т. е. на все значения 
Полагая
можем написать
Рассмотрим точку 
с координатами 
Она называется центром масс системы масс 
Полученные только что уравнения показывают, что равнодействующая сил, действующих на М, есть сила, которую можно получить, если всю систему притягивающих центров заменить единственной точкой 
полагая ее массу равной 
Равнодействующая направлена по 
и ее значение равно 
Следовательно, равновесия не будет, если точка М не совпадает с центром масс 
системы.
Мы предполагали, что величины 
существенно положительны. Допустим теперь, что эти числа не являются больше массами, а лишь некоторыми коэффициентами, и предположим, что некоторые из них отрицательны. Это равносильно предположению, что соответствующие силы являются отталкивающими, так как проекции какой-нибудь из сил 
меняют знак вместе с 
и сила 
меняет направление на обратное, когда 
делается отрицательным.
Если 
отлично от нуля, то приведенные вычисления сохранят силу, и мы придем к тем же результатам. Если и. равно нулю, то три величины (3) не зависят от 
равнодействующая постоянна по величине и направлению и положения равновесия нет. Если, наконец, одновременно
то X, Y, Z равны нулю, каковы бы ни были 
, следовательно, точка М находится в равновесии в любом положении.
В рассматриваемой задаче существует силовая функция 
. В общем случае, когда 
отлично от нуля, она будет
Если 
положительно, то эта функция равна нулю в точке 
и отрицательна во всех остальных точках. Она, следовательно, имеет максимум в положении равновесия, которое вследствие этого устойчиво. Когда 
отрицательно, имеет место обратное. Если 
равно нулю, то X; 
имеют постоянные значения 
и силовая функция имеет вид
