299. Геометрическое свойство траекторий.
Докажем следующее геометрическое свойство: Если постоянным 
придать произвольные фиксированные значения, а постоянные а, (3 изменять, то траектории, определяемые двумя первыми уравнениями 
будут нормальны к поверхностям, имеющим уравнение 
Эту теорему легко доказать, если воспользоваться декартовыми координатами, как мы это покажем в следующем пункте в качестве упражнения. Здесь мы докажем эту теорему в любой системе координат, чтобы иметь способ доказательства, который мог бы быть пригоден в дальнейшем при рассмотрении движения системы.
Заметим, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух бесконечно малых перемещений 
имеет вид
Если мы, в частности, допустим, что 
являются действительным перемещением движущейся точки по траектории за промежуток времени 
произвольное перпендикулярное к нему перемещение, то, разделив условие ортогональности на 
и обозначив через 
производные от х, у, z по 
мы можем написать его в виде
При переходе от декартовых координат к новым координатам 
мы полагали
Отсюда
Далее
где 
— бесконечно малые вариации координат 
соответствующие перемещению 
. Если вспомнить, что кинетическая энергия выражается в виде
то условие ортогональности (13), как это легко проверить, можно представить в виде
или, на основании принятых ранее обозначений, в виде
Вернемся теперь к интересующей нас теореме. Мы хотим доказать, что траектория точки, определенная как указано в формулировке, нормальна к той из поверхностей
которая проходит через рассматриваемое положение движущейся точки. Для этого достаточно показать, что скорость 
движущейся точки перпендукулярна к любому перемещению 
происходящему по поверхности (15), т. е. удовлетворяющему условию
Другими словами, достаточно показать, что это условие (16) необходимо влечет за собой условие, ортогональности (14). Но это очевидно на основании теоремы Якоби, так как значения 
вытекающие из этой теоремы [уравнения 
предыдущего пункта], будут
Следовательно, условие (16) влечет за собой равенство (14) и скорость точки, будучи нормальной к любому перемещению, совершаемому по поверхности 
нормальна к этой поверхности.
