193. Лестница.

Лестница опирается на горизонтальный пол и вертикальную стену; допустим, что средняя линия лестницы лежит в плоскости, перпендикулярной полу и стене (рис. 125); эту плоскость мы примем за плоскость чертежа.

Рис. 125.

Обозначим через центр тяжести лестницы и стоящего на ней в произвольном положении человека и найдем условия равновесия, предполагая, что коэффициенты трения в точках А и В равны одной и той же величине , следовательно, углы трения имеют одно и то же значение

Если лестница образует со стеной угол меньший угла трения то будет иметь место равновесие при любом положении точки В самом деле, всегда можно перенести вес Р, приложенный в точке вдоль его направления и разложить на две силы, из которых одна направлена по нормально к стене, а другая по линии образующей с нормалью к полу угол меньший , следовательно, меньший угла трения; обе эти составляющие уравновешиваются.

Допустим теперь, что угол лестницы со стеной превышает угол трения Так как вес и реакции стены и пола должны уравновешиваться, то эти три силы пересекаются в одной точке и лежат в плоскости чертежа. Проведем в точках А и В нормали и к стене и к полу и затем две прямые и образующие с угол и две прямые и образующие с тоже угол Эти четыре прямые, являющиеся прямыми пересечения плоскости чертежа с рассмотренными в общем случае конусами, образуют четырехугольник Так как реакции стены и пола образуют с нормалями углы, меньшие то их точка пересечения находится внутри четырехугольника Так как линия действия силы Р

т. е. вертикаль, проведенная через точку должна проходить через упомянутую точку пересечения реакций стены и пола, то для того, чтобы было равновесие, необходимо, чтобы эта вертикаль пересекала площадь четырехугольника. Это условие будет тогда и достаточным, так как если вертикаль пересекает этот четырехугольник, то, взяв точку на этой вертикали внутри четырехугольника, мы можем перенести в нее вес Р и здесь разложить его на две силы, направленные по и которые уравновесятся реакциями стены и пола.

Примем ОА и ОВ за оси и обозначим через а и расстояния и Ближайшая к стене точка М, будучи пересечением двух прямых

имеет абсциссу

являющуюся положительной величиной, так как, по предположению, больше чем ибо угол больше Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы абсцисса S центра тяжести была больше х. Пусть — масса лестницы и — масса человека, стоящего на лестнице на расстоянии от стены. Тогда, чтобы выразить, что больше х, напишем:

откуда можно определить нижнюю границу для Чтобы при любом положении человека равновесие было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы

Эта формула определяет верхнюю границу угла тангенс которого равен

Рис. 126.