193. Лестница.
Лестница
опирается на горизонтальный пол и вертикальную стену; допустим, что средняя линия лестницы лежит в плоскости, перпендикулярной полу и стене (рис. 125); эту плоскость мы примем за плоскость чертежа.
Рис. 125.
Обозначим через
центр тяжести лестницы и стоящего на ней в произвольном положении человека и найдем условия равновесия, предполагая, что коэффициенты трения в точках А и В равны одной и той же величине
, следовательно, углы трения имеют одно и то же значение
Если лестница образует со стеной угол
меньший угла трения
то будет иметь место равновесие при любом положении точки
В самом деле, всегда можно перенести вес Р, приложенный в точке
вдоль его направления и разложить на две силы, из которых одна направлена по
нормально к стене, а другая по линии
образующей с нормалью
к полу угол
меньший
, следовательно, меньший угла трения; обе эти составляющие уравновешиваются.
Допустим теперь, что угол лестницы со стеной превышает угол трения
Так как вес и реакции стены и пола должны уравновешиваться, то эти три силы пересекаются в одной точке и лежат в плоскости чертежа. Проведем в точках А и В нормали
и
к стене и к полу и затем две прямые
и
образующие с
угол
и две прямые
и
образующие с
тоже угол
Эти четыре прямые, являющиеся прямыми пересечения плоскости чертежа с рассмотренными в общем случае конусами, образуют четырехугольник
Так как реакции стены и пола образуют с нормалями углы, меньшие
то их точка пересечения находится внутри четырехугольника
Так как линия действия силы Р
т. е. вертикаль, проведенная через точку
должна проходить через упомянутую точку пересечения реакций стены и пола, то для того, чтобы было равновесие, необходимо, чтобы эта вертикаль пересекала площадь четырехугольника. Это условие будет тогда и достаточным, так как если вертикаль
пересекает этот четырехугольник, то, взяв точку
на этой вертикали внутри четырехугольника, мы можем перенести в нее вес Р и здесь разложить его на две силы, направленные по
и
которые уравновесятся реакциями стены и пола.
Примем ОА и ОВ за оси
и обозначим через а и
расстояния
и
Ближайшая к стене точка М, будучи пересечением двух прямых
имеет абсциссу
являющуюся положительной величиной, так как, по предположению,
больше чем
ибо угол
больше
Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы абсцисса S центра тяжести
была больше х. Пусть
— масса лестницы и
— масса человека, стоящего на лестнице на расстоянии
от стены. Тогда, чтобы выразить, что
больше х, напишем:
откуда можно определить нижнюю границу для
Чтобы при любом положении человека равновесие было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы
Эта формула определяет верхнюю границу угла
тангенс которого равен
Рис. 126.