233. Краткие указания по поводу некоторых других задач.

Руководствуясь аналогичными идеями, Бертран решил следующую задачу:

Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, висит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость не превосходит некоторого предела, найти закон этой силы.

Бертран доказал (Comptes rendus, т. LXXVII), что единственными законами, удовлетворяющими этим условиям, являются

из которых первый не подходит по причинам, указанным выше.

В т. LXXX1V Comptes rendus Бертран решил еще следующую задачу.

Зная, что сила, действующая на точку, зависит только от положения точки и заставляет ее описывать коническое сечение с фокусом в определенной точке каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.

Он доказал, что сила должна обязательно проходить через точку S и быть обратно пропорциональной квадрату расстояния. Следовательно, если принять первый закон Кеплера как общий закон и допустить, кроме того.

что сила, действующая на планету, зависит только от ее положения, то только из этих предположений вытекает закон Ньютона.

В связи с этой работой Бертран поставил следующую задачу:

Зная, что сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при любых начальных условиях описывать коническое сечение, найти закон этой силы.

Эта задача была сведена Альфеном и Дарбу (Comptes Rendus, т. LXXXIV) к частной задаче, решение которой было изложено выше (п. 232). Альфен доказал аналитически, что если сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при всех обстоятельствах описывать плоскую траекторию, то сила является либо центральной, либо параллельной постоянному направлению. Дарбу дал элементарное доказательство этого предложения (примечание, помещенное в «Механике» Депейру).

Наконец Кёниге (Bulletin de la Soci6te mathematique, т. XVII) исследовал вопрос о том, какой должна быть центральная сила, зависящая от расстояния, чтобы ее точка приложения описывала при любых начальных условиях алгебраическую кривую. Он пришел к законам .