159. Точка на поверхности.
Рассмотрим точку, которая может перемещаться без трения по неподвижной поверхности
и находится под действием силы 
. В этом случае имеется одна связь, выражаемая предыдущим уравнением, и единственными перемещениями, допускаемыми этой связью, являются те, которые происходят по поверхности. Если точка находится в равновесии, то сила будет нормальна к поверхности и, следовательно, ко всем возможным перемещениям. Тогда возможная работа будет равна нулю на всех этих перемещениях. Наоборот, если работа 
равна нулю на любом перемещении 
лежащем на поверхности, то из выражения
следует, что либо 
либо 
, т. е. либо сила равна нулю, либо сила нормальна к поверхности. В обоих случаях имеет место равновесие.
Выведем снова в качестве упражнения уравнения равновесия точки на поверхности, исходя из принципа возможных скоростей. Мы должны иметь
при единственном условии, что приращение 
должно быть связано с произвольными приращениями 
соотношением
которое выражает, что перемещение 
происходит по заданной поверхности. Умножим это уравнение на X и сложим с предыдущим. Получим
каковы бы ни были 
. Выберем X так, чтобы обратить в нуль первый коэффициент. Тогда, так как 
произвольны, их коэффициенты должны тождественно равняться нулю. Таким образом, получим одновременно:
Это — действительно уравнения равновесия, полученные нами ранее другим путем (п. 91). Сила, вызванная связью, является нормальной реакцией 
поверхности, и написанные уравнения равновесия показывают, что точка М, предполагаемая совершенно свободной, находится в равновесии под одновременным действием заданной силы и силы, имеющей проекции Отсюда следует, что эта последняя сила представляет собой не что иное, как нормальную реакцию. Эта реакция называется реакцией связи; она происходит от связи, наложенной на точку.
Если поверхность задана в форме
то для всех вариаций 
величин 
перемещение 
определяемое этими уравнениями, будет происходить по поверхности. Возможная работа
для такого рода перемещения примет вид
и условия равновесия будут те же, что и полученные ранее:
Примечание. Во всех случаях, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии или нет, для любого возможного перемещения, допускаемого связью, работа реакции связи, т. е. нормальной реакции, равна нулю.
