187. Связи, выражаемые неравенствами в конечной форме.
В предыдущих параграфах мы предполагали, что связи выражаются равенствами. Но мы предполагали, что связи осуществляются таким образом, что перемещения, допускаемые связями, выражаются неравенствами. Мы показали, как можно найти все положения равновесия, при которых все связи осуществлены.
Можно поставить более общую задачу следующим образом.
Представим себе систему точек, подчиненных связям, из которых одни выражаются 
равенствами в конечной форме:
а другие выражаются 
соотношениями неравенств тоже в конечной форме:
Тогда задача нахождения всех положений равновесия системы под действием заданных сил распадается на несколько других задач, исследованных выше.
Мы будем говорить для краткости, что связь 
осуществлена, если система находится в положении, при котором функция 
равна нулю и что указанная связь не осуществлена, если функция 
удовлетворяет неравенству связи (16)
То же самое будет для остальных связей 
Тогда различные положения равновесия распадаются на следующие:
1°. Могут существовать положения равновесия, при которых все связи 
осуществлены, а перемещения, допускаемые связями, сохраняют функции 
равными нулю, а функции 
или сохраняют равными нулю, или делают отрицательными. При этих условиях перемещения, допускаемые связями, удовлетворяют 
равенствам
и 
неравенствам
Положения равновесия этого рода будут как раз те, которые выведены методами 
2°. Могут существовать положения равновесия, при которых одна из связей (16) не осуществлена, а остальные осуществлены. Например, можно искать положения равновесия, при которых
и
Тогда снова получится такая же задача, как в п. 184, при которой осуществлены связи (15) и (17), а допускаемые перемещения удовлетворяю равенствам
и неравенствам
Но из этих положений равновесия системы нужно взять только, такиа для которых выполняется условие
3°. Точно так же могут существовать положения равновесия, при которых не осуществлены два, три или вообще 
связей (16), например,
а осуществлены остальные:
Возможные перемещения, допускаемые связями, удовлетворяют равенствам (15) и неравенствам
Эти положения равновесия находятся методом п. 184 без условий 
Однако из найденных таким образом положений равновесия нужцо сохранить только те, для которых выполняются неравенства (18).
4°. Могут, наконец, существовать положения равновесия, при которые ни одна из связей 
не осуществлена. Они найдутся, если определять положения равновесия системы, подчиненной только связям (15). Но из полученных положений равновесия следует сохранит дищь те, для которых выполняются неравенства
Пример. В примере предыдущего пункта мы определили положения равновесия точки, предполагая, что нить натянута и что эта точка лежит на поверхности цилиндра, т. е. предполагая, что осуществлены обе связи
В более общей постановке можно искать положения равновесия, при которых
Тогда сначала нужно взять в обоих соотношениях зради равенства, 
даст уже найденные положения равновесия.
Затем нужно будет искать положения равновесия, при которых
т. е. при которых нить не натянута, но точка находится на цилиндре. Тогда в качестве возможных положений равновесия получатся все точки образующей В, расположенные между найденными выше положениями Е и 
Точно так же нужно будет искать положения, для которых
т. е. нить натянута, но точка находится вне цилиндра. Очевидно, получится вертикальное положение равновесия нити.
Наконец, остается найти положения, для которых
т. е. нить не натянута и точка лежит вне цилиндра. Таких положений равновесия не существует.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
