12. Относительный момент двух векторов

Так называют величину, равную 6 объемам определенную раньше (рис. 9). Алгебраическое выражение этой величины получается непосредственно из элементарной формулы аналитической геометрии, выражающей объем тетраэдра

в функции координат его вершин. Пусть координаты точки и пусть проекции вектора на оси координат, наконец его моменты относительно этих осей. Точно так же обозначим через координаты точки В и через проекции и моменты вектора Тогда, считая оси координат ортогональными и ориентируя их таким образом, чтобы поворот в положительном направлении вокруг оси на 90° переводил ось в ось получим с учетом знака

Раскрывая определитель, предварительно вычтя из второй строки первую и из четвертой третью, получим

6 объем. или ввиду тождеств имеем 6 объем.

Рис. 10.

Аналитическое выражение момента относительно произвольной оси. Дана ось (рис. 10), на которой выбрано положительное направление от точки с координатами к точке О с координатами

Проекции вектора представляющего собою вектор и величины его моментов равны соответственно

Момент вектора относительно заданной оси равен величине объем. деленной на что дает:

Из этой общей формулы можно для проверки получить значения моментов вектора относительно осей координат. Для оси например, достаточно положить Тогда момент будет равен Точно так же для осей получатся