82. Частный случай, когда сила зависит только от начального и конечного положений. Силовая функция. Потенциальная энергия.

Допустим, что X, Y, Z являются функциями от х, у, z, непрерывными и допускающими частные производные первого порядка во всех точках области пространства, в которой расположены все рассматриваемые кривые. Выясним, какими должны быть функции

для того, чтобы полная работа на конечном перемещении зависела только от начального и конечного положений и не зависела от формы кривой, по которой перемещается точка.

Рис. 57.

Возьмем сначала две бесконечно близкие точки лежащие в плоскости, параллельной (рис. 57), причем координаты точки равны х, у, z, а координаты точки равны Переведем движущуюся точку из положения в положение перемещая ее сначала параллельно оси на отрезок длиною в положение М, а затем параллельно оси на отрезок в положение Элементарная работа на перемещении равна . В положении М сила будет иметь значение и проекцию на ось равную . Элементарная работа силы на перемещении равна, следовательно, Отсюда для полной работы на перемещении получаем

Если сначала переместить точку параллельно Оу на отрезок в положение а затем параллельно на отрезок из то для работы получим

Мы желаем, чтобы оба эти значения были равны. Приравнивая их и замечая, что

после очевидных преобразований получим

Поступая аналогичным образом в плоскостях, параллельных другим координатным плоскостям, получим два других необходимых условия

Эти условия показывают, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции независимых переменных Покажем, что эти условия являются также и достаточными, по крайней мере при некоторых ограничениях, которые мы укажем.

В самом деле, если эти условия выполнены, то будет существовать тождество

из которого вытекают три других:

Функция определенная с точностью только до произвольной аддитивной постоянной, называется силовой функцией. Говорят также, что в этом случае силы имеют потенциал; величина называется потенциальной энергией.

Полная работа силы когда точка переходит из в вдоль кривой С (рис. 58), будет тогда

где конечное значение, которое принимает функция в положении при непрерывном ее изменении вдоль кривой, начальное значение функции в положении

Следовательно, если в рассматриваемой области пространства является однозначной функцией от имеющей единственное значение в каждой точке этой области, то будут вполне определенными и полная работа не будет зависеть от пути, по которому точка переходит из . В частности, если точка описывает замкнутый путь, то совпадает с и тогда полная работа равна нулю.

Рис. 58.

Но если функция является многозначной, как, например, арктангенс, то полная работа не будет абсолютно не зависящей от пути перехода точки из Она будет меняться в зависимости от того, какое из значений мы должны будем в силу непрерывности принять в точке когда будем исходить из определенного значения в точке Можно также сказать, что в этом случае полная работа по замкнутому контуру не будет обязательно равна нулю. Эти два способа выражения будут, впрочем, идентичны, так как, если рассмотреть два пути С и С из в и обозначить через и полную работу на конечных перемещениях то полная работа на замкнутом перемещении будет равна Следовательно, если то полная работа равна нулю, а если , то не равна нулю.

Пусть, например, Проекции силы равные

являются непрерывными дифференцируемыми функциями во всей части пространства, расположенной вне кругового цилиндра сколь угодно малого радиуса, ось которого совпадает с осью (рис. 59). Функция есть угол , образованный осью с проекцией радиуса-вектора на плоскость Поэтому, если движущаяся точка описывает замкнутую кривую не окружающую ось то полная работа равна нулю, так как функция при непрерывном изменении вдоль контура С принимает в точке М свое первоначальное значение. Но если точка описывает замкнутую кривую окружающую один раз в положительном направлении ось то изменение функции будет равно и полная работа будет также равна Если точка совершит вокруг оси в положительном направлении оборотов, то полная работа будет равна

Рис. 59.

Эти соображения указаны Бертраном (Journal de I’Ecole Polytechnique, вып. 28).

Вообще, для случая, когда существует силовая функция, можно установить предложение, которое мы только выскажем, не вдаваясь в слишком пространные аналитические подробности.

Если замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не пересекая при этом никакой точки, в которой функции X, Y, Z перестают быть непрерывными и дифференцируемыми, то полная работа силы на этой замкнутой кривой равна нулю.

Доказательство этого предложения может быть легко получено, если исходить из приводимой ниже формулы.

Когда кривая С стягивается в точку Р, то ее последовательные положения образуют некоторую поверхность на которой, по предположению, функции X, Y, Z конечны, непрерывны и дифференцируемы. Справедлива следующая формула (формула Ампера—Стокса):

где первый интеграл берется по кривой С, а второй — по поверхности . В силу самих условий, определяющих существование силовой функции, элементы двойного интеграла по поверхности всюду равны нулю, вследствие чего