32. Моменты параллельных связанных векторов относительно плоскости.

Формулы для координат центра параллельных связанных векторов, если их перевести на язык геометрии, приводят к теореме моментов относительно плоскости.

Пусть даны произвольно направленная ось и плоскость П, которую всегда можно принять за плоскость (рис. 25). Моментом какой-нибудь из параллельных геометрических величин относительно этой плоскости П называется произведение алгебраического значения указанной величины на координату ее точки приложения. Это понятие введено Монжем («Курс элементарной статики», Париж, 1786).

Рис. 25.

Определенный таким образом момент есть величина положительная, отрицательная или равная нулю, значение которой зависит от точки приложения геометрической величины, так что этот момент изменяется, если указанную величину переносить вдоль ее линии действия. Основное свойство, вытекающее из этого определения, будет следующим:

Если для системы параллельных связанных векторов существует результирующий вектор, то момент результирующего вектора относительно плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих векторов при условии, что этот результирующий вектор приложен в центре параллельных векторов.

Для доказательства предположим сначала, что ось перпендикулярна к плоскости II. Тогда координата центра параллельных векторов определяется формулой

где эта формула как раз и выражает доказываемую теорему.

Если ось наклонена к плоскости П, то можно взять вспомогательную ось нормальную к плоскости и образующую с осью угол а. Обозначим через координаты точек приложения, отсчитываемые параллельно этой новой оси, т. е. нормально к плоскости. По предыдущему имеем:

Но координаты и связаны очевидными соотношениями

что после подстановки и приводит к искомому соотношению

Таким образом, теорема моментов доказана в общем виде.

Прилагая эту теорему к трем плоскостям косоугольной системы координат, мы получим для определения координат центра параллельных векторов в косоугольной системе те же формулы, что и в системе прямоугольной.

Примечание I. Теорема моментов относительно плоскости справедлива лишь в том случае, когда довели то теорема не справедлива, так как результирующий вектор обращается в нуль, и центр параллельных векторов уходит в бесконечность. Исключение будет в еще более частном случае, когда векторы находятся в астатическом равновесии:

В этом случае координаты неопределенны и теорема применима.

Примечание II. В частном случае, когда все векторы направлены в одну сторону, центр параллельных векторов лежит внутри любой выпуклой поверхности, окружающей точки приложения составляющих. В самом деле, примем направление заданных векторов за положительное, касательную плоскость П к поверхности — за плоскость и в качестве оси — перпендикуляр к этой поверхности, направленный в ту же сторону, что и поверхность (рис. 26).

Рис. 26.

Тогда координаты всех точек приложения векторов будут положительными, и равенство

показывает, что и координата С также положительная. Таким образом, центр параллельных векторов расположен по отношению к произвольной касательной плоскости по ту же сторону, что и поверхность и, следовательно, находится внутри ее.