286. Эллиптические координаты в пространстве.

В эллиптической системе координат точка М в пространстве определяется параметрами трея пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусные заданной. Пусть

- уравнение поверхностей второго порядка, софокусных поверхности

Если для определенности мы положим то при уравнение (1) представит вещественный эллипсоид, при оно представит однополостный гиперболоид, при двуполостный гиперболоид и, наконец, при — мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. В самом деле, если х, у, z рассматривать как заданные величины, то уравнение (1), третьей степени относительно X, будет иметь три вещественных корня, из которых один меньше с, другой заключен между с и и третий — между и а. Это можно проверить, подставляя в левую часть уравнения указанные ниже значения X и замечая, что знаки левой части будут определяться следующей таблицей, в которой очень малое положительное число:

Обозначим эти три корня в порядке убывания их величин через . В случае получается двуполостный гиперболоид, в случае однополостный гиперболоид и в случае эллипсоид.

Как хорошо известно, эти три поверхности пересекают друг друга ортогонально. Например, две поверхности

пересекаются ортогонально, так как условие

как это можно непосредственно проверить, идентично уравнению

Три величины называются эллиптическими координатами точки

Чтобы выразить декартовы координаты через заметим, что являются тремя корнями уравнения (1) относительно X. Поэтому имеем тождественно

Умножая обе части этого тождества на и полагая затем , получим

Точно так же найдем

Вычислим теперь в этой системе координат выражение для . Взяв логарифмические производные обеих частей написанных выше равенств, имеем:

Отсюда для получится выражение вида

В нем нет членов с так как поверхности пересекаются ортогонально. Легко проверить соотношение

которое выражает, что коэффициент при равен нулю. Величины имеют следующие значения:

Если взять производные от обеих частей тождества (2) по X и затем положить то, заметив, что в результате этой подстановки все члены второй части, содержащие множителем обратятся в нуль и поэтому не будет надобности их вычислять, найдем

где обозначает произведение . Точно так же получим

Рис. 174.

Заметим, что если, в частности, рассмотреть дугу кривой пересечения двух поверхностей (рис. 174), то дифференциал этой дуги получится, если положить

Отсюда

Точно так же, обозначая через дуги кривых по торым пересекаются поверхности и поверхности получим

Тогда дугу любой кривой можно рассматривать как диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами

Величина Т выражается в виде

и уравнения Лагранжа теперь легко составить. Так как вид левых частей этих уравнений очевиден, то ограничимся определением правых частей.

Разложим силу на три составляющие касающиеся соответственно кривых , считая эти составляющие положительными в направлении перемещения точки М вдоль каждой из этих кривых при увеличении только одной эллиптической координаты и при сохранении постоянными двух других. Сообщим точке М возможное перемещение при котором остаются постоянными, увеличивается на Тогда возможная работа силы будет с одной стороны равна . С другой стороны, так как работы сил будут на рассматриваемом перемещении равны нулю, то работа силы будет равна

Рис. 175.

Следовательно, имеем

и точно так же