283. Интеграл кинетической энергии.

В случае, когда существует силовая функция , по теореме кинетической энергии получим первый интеграл

где Т обозначает кинетическую энергию. Этот интеграл, являясь следствием уравнений движения, является также следствием уравнений Лагранжа и может заменить одно из них.

Проверим непосредственно, что интеграл кинетической энергии действительно является следствием уравнений Лагранжа. Остановимся лишь на более простом случае, когда х, у, z, выраженные через не содержат явно . В этом случае для х, у, z получатся выражения вида

и Т будет однородной функцией второй степени относительно По теореме об однородных функциях имеем

После этого возьмем уравнения Лагранжа, в которых заменены через Умножив их предварительно на сложим. Получим

Правая часть этого уравнения равна, очевидно, так как зависит от только через . Что касается левой часги, то ее можно написать так:

где — вторые производные от по времени.

На основании уравнения (1), полученного из теоремы об однородных функциях, первая скобка равна Что касается второй скобки, то она является развернутым выражением производной так как Т зависит от через параметры и уравнение (2) приводится к следующему виду:

т. е.

что и является интегралом кинетической энергии. В приложениях наиболее сложное из трех уравнений Лагранжа заменяют этим первым интегралом.