224. Сила вида ...

Якоби показал, что можно привести задачу к квадратурам в случае, когда центральная сила выражается формулой вида т. е. когда сила является однородной функцией декартовых координат с показателем однородности —2, В этом случае из формулы

получаем для определения траектории уравнение

которое является линейным с постоянными коэффициентами и. со второй частью. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

где А и В — произвольные постоянные, а — частный интеграл уравнения, который всегда может быть найден при помощи квадратур.

Пусть, например, , где — вещественная положительная или отрицательная постоянная. В этом случае дифференциальное уравнение будет

его общий интеграл имеет вид

или, в декартовых координатах,

Это — уравнение конического сечения, касающегося двух прямых и (рис. 146). Уравнение прямых имеет вид Эти «рямые касаются сечения в точках, где они пересекаются с прямой которая изменяется вместе с начальными условиями. Начальное положение движущейся точки лежит обязательно или в углу или в углу, противоположном ему относительно вершины, так как вне зтрх углов вырцжение комплексно. Допустим для определенности, что кривая является эллипсом. Если положительно, то траектория состоит из части дуги так как она должна быть обращена вогнутостью к точке О; когда движущаяся точка приходит в одно из положений Р или то сила обращается в бесконечность, и задача теряет смысл.

Если отрицательно, то движущаяся точка описывает часть дуги

Рис. 146.

Время может быть определено из уравнения площадей

в котором следует заменить его значением в функции 0. Если постоянные А и В специальным образом не подобраны, то получающийся интеграл будет эллиптическим.

Примечание. Точно так же приводится к квадратурам и более общая задача, когда выражение силы имеет вид

где — постоянная. При этом по-прежнему придется интегрировать линейное относительно уравнение с постоянными коэффициентами и со второй частью.