239. Аналитические преобразования.

Для вычисления положения планеты в момент необходимо сначала найти эксцентрическую аномалию и при помощи уравнения Кеплера

После этого найдутся все остальные координаты, которые все выражаются в функции и. Какова бы ни была дуга С, уравнение (1) Кеплера имеет один корень, который мы обозначим через и. В самом деле, С заключается между двумя целыми числами, кратными :

В функции положим тогда получим

в то время как

Следовательно, между всегда имеется вещественный корень. Более того, этот корень будет единственным, так как производная и всегда положительна, поскольку заключается между 0 и 1.

1°. Последовательные приближения. Единственный вещественный корень уравнения (1) можно вычислить последовательными приближениями "ледующим образом.

Пусть произвольная вещественная дуга. Положим

Кёниге указал следующий метод, позволяющий доказать, что величины действительно стремятся к искомому корню и оценить предел ошибки при замене через . Этот метод является приложением к уравнению Кеплера общих результатов. заключающихся в работах Кёнигса по функциональным уравнениям (Annales de PEcole Normale, 1884. и 1885). Обозначая через и единственный вещественный корень, имеем

Но так как

то можно также написать

Так как модули величин

меньше единицы, то

Отсюда умножением выводим

Но заключается между 0 и 1, а стремится к нулю, когда неограниченно возрастает; следовательно, предел равен искомому корню и. Таким образом, последовательность величин имеет предел и. Более того, предыдущее неравенство показывает, что эти величины непрерывно приближаются к своему пределу и. Этот факт замечателен, так как выбрано совершенно произвольно. Если каким-нибудь образом удалось найти приближенное значение для и, то его можно принять за и тогда будут еще более приближаться к . Допустим, что в качестве принято, как это часто делают, само значение С. Мы нашли

Но из соотношения

получается

и, следовательно,

Мы нашли, таким образом, оценку совершаемой ошибки. Например, для Земли приблизительно достаточно трех действий чтобы получить и с семью точными десятичными знаками.

2°. Номограмма. Д’Окань, прилагая к уравнению Кеплера общие методы номографии, дал в Bulletin de la Societe mathematique de France (т. XXU, 1894)

номограмму для решения этого уравнения. Эта номограмма позволяет быстро получить первое приближенное значение для неизвестной, исходя из которого можно, применяя строгие методы, найти более точные приближения.

3°. Ряд Лагранжа. При помощи ряда Лагранжа можно получить разложения по возрастающим степеням е. Рассмотрим уравнение вида

определяющее и в функции переменных С и обозначим через и тот из корней этого уравнения, который стремится к С, когда стремится к нулю Лагранж поставил себе задачей разложить заданную функцию этого корня в ряд, расположенный по возрастающим положительным степеням е. Он дал для этого формулу

Мы отсылаем за доказательством этой формулы к курсу анализа Эрмита и к мемуару Рушё (Journal de l’Ecole Polytechnique, вып. XXXIX).

В уравнении Кеплера имеем

и за функцию можао последовательно принимать эксцентрическую аномалию и, или радиус-вектор , или любую другую функцию и, разлагающуюся по степеням е. Так, например,

Лаплас первый нашел, что эти разложения сходятся до тех пор, пока остается меньше Коши подтвердил этот результат более прямым методом.

4°. Функции Фурье — Бесселя. Предыдущие разложения сходятся для планет, но перестают сходиться для некоторых периодических комет, описывающих вокруг Солнца очень вытянутые эллипсы. Тогда можно применить для где — целое положительное число, метод разложения в ряды по функциям Фурье — Бесселя, пригодные для всех значений эксцентриситета, заключенных между 0 и 1. Чтобы показать идею этих разложений, заметим сначала, что уравнение Кеплера

определяет как нечетную функцию переменного С, так как это уравнение не перестает удовлетворяться при одновременной перемене знаков у С и а. Более того, если средняя аномалия С увеличивается на то на столько же увеличивается и эксцентрическая аномалия и. Вследствие этого где — целое положительное число, будут функциями переменного С, не изменяющими своих значений, когда С увеличивается на , причем первая будет четной, а вторая — нечетной. Известно, что любая конечная и непрерывная вещественная функция переменной С, не изменяющаяся, когда С увеличивается на 2%, разлагается по формуле Фурье в ряд по синусам и косинусам где . В случае, когда разлагаемая функция от С — четная, разложение содержит только косинусы и свободный член;

в случае, когда эта функция нечетная, разложение содержит только синусы и не имеет свободного члена.

Следовательно, для мы получаем, используя обозначения из первого тома Небесной механики Тиссерана, разложения следующего вида:

Здесь коэффициенты определяются известными формулами

из которых первая может быть получена сразу умножением обеих частей разложения на и интегрированием от 0 до , после чего все члены правой части, кроме члена, соответствующего обратятся в нули. Мы займемся сейчас вычислением коэффициентов коэффициенты вычислятся аналогичным образом. Прежде всего, полагая имеем

или, заменяя С переменной и и замечая, что если и изменяется от 0 до то С будет изменяться тоже от 0 до , имеем

Этот интеграл равен нулю при при он равен Следовательно,

Далее, интегрируя по частям, находим

Проинтегрированная часть равна нулю; после замены в другой части произведения синусов разностью косинусов и величины ее значением и найдем

Сюда и входят функции Фурье—Бесселя, которые можно определить следующим образом. Пусть — целое число и параметр. Выражение

определяет функцию Фурье — Бесселя. Существует, следовательно, бесчисленное множество функций Фурье — Бесселя, соответствующих всем положительным, или отрицательным, или нулевым значениям целого числа Легко видеть, что всегда можно считать положительным. В самом деле, меняя на , получим и из написанного выше интеграла находим:

Эта формула позволяет переходить от отрицательных индексов к положительным. Функция является целой трансцендентной функцией от х, содержащей множителем; раскладывая эту функцию по степеням х, найдем

Согласно этим обозначениям мы получаем следующие значения для коэффициентов

Точно так же находим

Подставляя эти значения в выражения для мы получим искомые разложения, сходящиеся при всех значениях между 0 и 1. Так, например,

Если в этом разложении найти коэффициенты при то мы снова получим те же значения, что и в написанной ранее формуле Лагранжа. Тем не менее оба эти разложения совершенно различны. Разложение Лагранжа расположено по степеням и сходится только при значениях меньших некоторого предела; только что полученное разложение расположено по косинусам и синусам целых кратностей С и сходится при всех значениях от 0 до 1.

Более подробные сведения о функциях Фурье — Бесселя можно найти в сочинении Тодгунтера, On Laplace’s, Lame’s and Bessel’s Functions

и в Traite de Mecanique celeste Тиссерана, из которой мы многое заимствовали. До Бесселя эти функции встречаются у Фурье. По этому вопросу можно указать на статью Аппеля и на несколько статей Пере, Акимова и Жуковского (Comptes rendus годы 1915, 1916, 1917).