7.5.8. Длина когерентности; применение двухлучевой интерференции к изучению тонкой структуры спектральных линий.

Газ (например, пары кадмия), возбуждаемый в определенных условиях электрическим разрядом, испускает свет, спектр которого состоит из резких ярких линий, разделенных темными промежутками, — так называемый эмиссионный линейчатый спектр. Выделим свет одной из этих линий и осветим им, например, интерферометр Майкельсона, установленный так, чтобы образовались кольцевые интерференционные полосы; тогда мы увидим, что полосы становятся отчетливыми, если длины оптических путей обоих интерферирующих пучков примерно одинаковы. При возрастании оптической разности хода видность полос уменьшается (вообще говоря, немонотонно) и в конце концов они исчезают.

Такое исчезновение полос можно объяснить, предположив, что свет спектральной линии недостаточно монохроматичен и состоит из цугов волн конечной длины, большое количество которых проходит за любой интервал времени, необходимый для наблюдения. Допустим теперь, что все эти волновые цуги идентичны. Каждый из них, попадая в интерферометр, делится на два цуга равной длины, и если оптическая разность хода в плечах интерферометра больше этой длины, один из цугов пройдет точку наблюдения Р раньше, чем другой дойдет до нее. В таком случае в точке Р интерференция двух волновых цугов, образовавшихся из одного, наблюдаться не будет. В Р в любой момеш налагаются друг на друга волновые цуги, порожденные разными падающими волновыми цугами, и так как они приходят беспорядочно, быстро сменяя друг друга, то их вклад в интерференционный член за относительно большое время, необходимое для наблюдения, в среднем равен нулю.

Можно представить наше объяснение в друюм виде, математически более удобном для описания изменений видности полос с разностью хода, применив интеграл Фурье, Пусть — световое возмущение в некоторой точке в момент времени вызванное одиночным волновым цугом, и пусть равно нулю для представим эту функцию в виде интеграла Фурье

где, согласно обратному преобразованию Фурье,

Если за время наблюдения эту точку минует таких волновых цугов, то полное световое возмущение можно записать в виде

где величины обозначают моменты прихода соответствующего волнового цуга. Средняя интенсивность света за временной интервал необходимый

для наблюдения, равна

если Т велико по сравнению с (половинсзй длительности волнового цуга). Из (94) и (96) следует, что

где

Следовательно, в соответствии с теоремой Парсеваля имеем

Мы можем написать

Однако, поскольку величины распределяются случайным образом, вероятности того, что члены с косинусом будут положительными или отрицательными, одинаковы. Следовательно, средняя величина двойной суммы в (100) при большом числе таких опытов равна и из (97) и (100) получим, что средняя интенсивность равна

т. e. пропорциональна интегралу от интенсивностей (некогерентная суперпозиция) монохроматических компонент, составляющих одиночные волновые цуги. В интерферометре каждая монохроматическая компонента дает интерференционную картину, описанную в п. 7.5.4, и так как оптическая разность хода увеличивается от нуля, смещения интерференционных картин, обусловленных разными компонентами, увеличиваются вследствие различия в длинах волн. Следовательно, видность полос уменьшается, и они полностью исчезают, когда оптическая разность хода становится достаточно большой.

Эти две возможные интерпретации отсутствия полос при достаточно большой разности хода — в рамках представления о хаотичной последовательности ограниченных волновых цугов или представления о суперпозиции монохроматических компонент, распределенных в некотором частотном диапазоне, — для большинства практических целей эквивалентны, и из предшествующего обсуждения мы можем заключить, что чем длиннее волновые цуги, тем уже частотные диапазоны, в которых фурье-компоненты имеют заметную интенсивность. Проиллюстрируем эту связь на простом примере. Предположим, что длительность всех волновых цугов равна и в течение этого времени есть простая

периодическая функция с частотой т. е.

где постоянная. Тогда из (95) и (103) находим

График функции ответственной за распределение интенсивностей фурье-компонент в (103), представлен на рис. 7.53.

Частотный интервал в котором интенсивность можно считать значительной, в известной степени произволен, но так как первый пуль (который появляется, когда аргумент члена с синусом равен ) соответствует то ясно, что

Рис. 7.53. График функции

Итак, эффективный частотный диапазон фурье-спектра равен по порядку обратной величине длительности одного волнового цуга.

Данный пример, в котором все волновые цуги идентичны и имеют простую форму, дает лишь идеализироованное представление о свете реальных источников. Согласно теории строения атома потеря энергии атомами при излучении вызывает затухание волновых цугов. Далее, атомы находятся в беспорядочном тепловом движении относительно наблюдателя, и поэтому наблюдающиеся спектры искажены эффектом Допплера. Кроме того, излучающие атомы возмущаются соседними, и волновые цуги беспорядочно изменяются. По этим причинам нельзя ожидать, что изучение света реальных источников позволит придать простой смысл терминам «длительность волновых цугоз» или «частотный диапазон фурье-спектров». Однако для любого светового возмущения или его фурье-образа можно определить величины которые мы вправе рассматривать соответственно как среднюю длительность волновых цугов, составляющих V, и как эффективный частотный диапазон фурье-спектра; можно показать, что эти средние всегда удовлетворяют соотношению

Последнее неравенство, но смыслу аналогичное соотношению неопределенности Гейзенберга в квантовой механике, выводится и обсуждается в п. 10.7.3. Здесь мы отметим только, что в большинстве практически интересных случаев знак неравенства в (106) можно заменить знаком, обозначающим порядок величины.

Промежуток времени входящий в (106), известен как время когерентности света; если -средняя длина волны, то длина определяемая соотношением

известна как длина когерентности. Сравнивая (107) и (7.3.15), мы видим, что наше прежнее ограничение, налагаемое на разность хода между квазиамонохроматическими пучками означает, что она должна быть мала по сравнению с длиной когерентности света. Если оптическая разность хода того же порядка

или значительно больше длины когерентности, интерференционные эффекты становятся незаметными.

Из предыдущего ясно, что наблюдения за изменением видности полос в зависимости от оптической разности хода в соответствующих интерференционных опытах должны содержать информацию о спектральном распределении интенсивности используемого света. Первые наблюдения такого рода были выполнены Физо [17]. Осветив свой интерферометр (см. и. 7.5.2) желтым светом натриевой лампы, он получил кольца Ньютона и наблюдал за ними при увеличении расстояния между линзой и пластинкой. Физо нашел, что при контакте линзы с пластинкой кольца были четкими, почти исчезли вблизи 490-го кольца и снова приобретали приблизительно первоначальную четкость около 980-го кольца. Он смог проследить периодическое изменение видности полос в 52 периодах из 980 колец каждый. Отсюда Физо сделал правильный вывод, что желтый свет натрия состоит из двух компонент приблизительно равной интенсивности. Максимумы видности полос наблюдались там, где разность хода равнялась целому кратному длины волны каждой компоненты и, следовательно, эти длины волн относились примерно, как 981/980. Физо удалось подтвердить свое заключение прямым наблюдением с призменным спектроскопом.

Позднее более тщательные наблюдения были проведены Майкельсоном [42], определившим с помощью своего интерферометра видность кольцевых полос путем сравнения их с системой кольцевых полос с известной переменной видностью. Это позволило ему построить кривые видности полос как функцию разности хода для света целого ряда спектральных линий.

Посмотрим теперь, как кривая видности связана со спектральным распределением интенсивности. Предположим для простоты, что интенсивности двух интерферирующих пучков одинаковы. Для оптической разности хода разность фаз равна

где волновое число. Из (7.2.17) найдем для интенсивности, обусловленной компонентами с волновыми числами в интервале

где — спектральное распределение интенсивности в каждом пучке. Как уже было показано, отдельные спектральные компоненты складываются некогерентно, и, следовательно, результирующая интенсивность в интерференционной картине равна

Для света спектральной линии пренебрежимо мало всюду, за исключением небольшой области около некоторого среднего волнового числа . Если теперь принять

вместо (110) можно написать

Дальнейший анализ будет вестись так же, как и на стр. 256. Следовательно, последнее соотношение можно переписать (см. (7.3.38}) в виде

где

Рис. 7.54. Кривые видности, соогветствующие различным спектральным распределения интенсивности когда когда при . Аналитические выражения для выведены предположении, что спет квазимонохроматичен На рис б), в), г)

Так как для спектральной линии не равно нулю только при то изменения С и пренебрежимо малы по сравнению с изменениями и отсюда следует, что положение экстремумов I с хорошим приближением определяется соотношением

т. е.

Из (113) и (115) для экстремальных величин 1 найдем

Отсюда кривая видности описывается соотношением

Отметим, что (113) можно также записать в виде

где . Таким образом, кривая видности представляет собой огибающую нормированной кривой интенсивности

Рассчитанные кривые видности для нескольких возможных спектральных распределении интенсивности показаны на рис. 7.54. Однако на практике мы

встречаемся с обратной задачей, а именно с определением спектрального распределения из наблюдаемой кривой видности. Если функция симметрична, то и (117) сводится к

В таком случае кривая видности определяет С (не считая постоянного множителя пропорциональности Р и знака, который обычно находят из физических соображений) и получаются из (114) с помощью обратной теоремы Фурье» Однако в общем случае кривая видности позволяет найти только но згого, вообще говоря, недостаточно для определения и нужно знать отдельно и С. и Рэлей [43] отметил (см. также [44]), что можно определить и С, и если измерять не только видность полос, но и их положение, так как последнее с помощью (115) дает отношение однако такие измерения очень трудны.

Рис. 7.55. Кривая видности для красной линии кадмия [46].

Несмотря на эти трудности, Майкельсон смог выяснить структуру простых спектральных линий, получившую убедительное подтверждение в последующих исследованиях. В частности, он нашел, что красная линия кадмия наиболее близка к моиохроматичной из всех исследованных им линий; ее кривая видности (рис. 7.55) соогветствует симметричному спектральному распределению гауссовой формы с полушириной, равной лишь 0,013 V, ему удалось также наблюдать интерференционные полосы с разностью хода, превышающей длин волн (~30 см).

Такой метод анализа спектров с помощью двухлучевой интерферометрии имеет исторический интерес как первое применение интерференции в спектроскопии; позднее он был вытеснен методами многолучевой интерферометрии (см. § 7.6). Однако сравнительно недавно снова возродился интерес к двухлучевому методу в применении к инфракрасной области спектра (см., например, [47] и обзорную статью по Фурье спектроскопии [47а]), так как в этом случае он имеет ряд технических преимуществ.