2.3.4. Элементарная теория дисперсии.

В § 1.2 указывалось, что фазовая скорость и, следовательно, показатель преломления не могут быть постоянными среды, как мы предполагали вначале при формальном рассмотрении. Эти величины должны зависеть от частоты. Изменение показателя преломления с частотой составляет явление дисперсии. Для адекватного описания дисперсии необходимо сильно углубиться в теорию атомного строения материи, но можно дать упрощенную модель диспергирующей среды, используя один или два основных результата, касающихся структуры молекул.

Молекула состоит из нескольких тяжелых частиц (ядер атомов, образующих молекулу), вокруг которых обращаются легкие частицы (электроны). Электроны несут отрицательный заряд, а ядра — положительный. В нейтральных молекулах заряды электронов точно компенсируют заряды ядер. Однако центры положительных (ядерных) и центры отрицательных (электронных) зарядов могут не совпадать; такая система является электрическим диполем и называется полярной. Для простоты мы здесь не будем рассматривать полярные молекулы, хотя они играют огромную роль во многих физических и химических явлениях.

Если неполярную молекулу поместить в электрическое поле, то электроны и ядра смещаются и возникает дипольный момент. Векторная сумма всех дипольных моментов молекул в единице объема является по существу вектором поляризации Р, введенным формально в предыдущем разделе.

Для того чтобы определить зависимость поляризации и показателя преломления от частоты поля, нам прежде всего необходимо найти смещение каждой заряженной частицы относительно ее положения равновесия. Мы можем предположить, что на каждый электрон действует сила Лорентца (см. уравнение (1.1.34)), равная

где — заряд электрона, его скорость. Пусть скорость электрона мала по сравнению со скоростью света в вакууме с, и, следовательно, в выражении для силы Лорентца можно пренебречь вкладом магнитного поля. Строгое определение эффективного смещения ядер и электронов под действием электрической силы является сложной проблемой квантовой механики. Однако представляется правдоподобным (и действительно подтверждается строгой теорией), что с хорошим приближением электроны ведут себя так, как если бы при отклонении от положения равновесия на них действовала квазиупругая возвращающая сила . Следовательно, если через обозначить массу электрона, то уравнение его движения запишется в виде

Пусть со — циклическая частота поля падающей волны, т. е.

будем искать решение (24) в виде

Тогда искомое стационарное решение уравнения (24) запишется следующим образом:

где

называется резонансной частотой. Согласно (27) электрон колеблется с частотой поля падающей волны.

Каждый электрон вносит в поляризацию момент . Ядра также вносят свой вклад в нее, но так как массы ядер велики по сравнению с массой электронов, их вкладом в первом приближении можно пренебречь. Предположим сначала, что в молекуле имеется лишь один эффективный электрон с резонансной частотой со»; тогда для полной поляризации Р мы получим выражение

Сравнение (29) с (14) дает

что выражает «плотность поляризуемости» через атомные параметры. Таким образом, оказывается, что величина а непостоянна, как это было если бы в (17) означало статическую диэлектрическую проницаемость Удобно ввести понятие зависящей от частоты диэлектрической проницаемости которая определяется соотношением Максвелла , где — показатель преломления, являющийся функцией от , т. е. Тогда статическая диэлектрическая проницаемость равна величине согласно (17) она соответствует предельному значению , которое в соответствии с (30) имеет вид

Подставив это значение в (16), мы получим статическую диэлектрическую проницаемость .

Для функция согласно (30), монотонно увеличивается с ростом и обращается в бесконечность (резонансная точка) при для при увеличении со она стремится к нулю с отрицательной стороны. Подставляя (30) в (17), мы найдем зависимость показателя преломления от частоты в явном виде

Для газа близко к единице и поэтому в знаменателе левой части мы можем положить тогда

Как мы видим, растет с увеличением частоты. Говорят, что в этом случае имеет место нормальная дисперсия. Далее, больше или меньше единицы в зависимости от того, меньше чем или больше нее, и приближается к единице при увеличении (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Диперсионные кривые для газа. Сплошная линия — влияние затухания, но учитывается пунктирная кривая — с учетом затухания. В последнем случае по оси ординат отложены вещественные части величии

На самом же деле при резонансной частоте а не бесконечны, как утверждает наша формула. Возникает лишь формальная особенность, так как мы пренебрегали влиянием затухания. Фактически затухание служит существенным фактором во всем процессе, поскольку колеблющиеся электроны нзлучают электромагнитные волны, которые уносят энергию.

Имеются и другие причины диссипации энергии (например, соударения между атомами). Формально затухание можно учесть путем добавления в уравнение движения (24) члена представляющего тормозящую силу

Тогда вместо (27) мы получим

Поляризация, а следовательно, и становятся комплексными. Можно показать (аналогичная ситуация возникает и в теории металлов, где используется комплексный показатель преломления, см. гл. 13), что вещественная часть этой комплексной функции является истинной «плотностью поляризуемости». Она показана пунктирной кривой на рис. 2.3. Кривая имеет резкий максимум при значении , несколько меньшем и резкий минимум при значении, несколько большем Между максимумом и минимумом функция

уменьшается с увеличением частоты, и мы говорим об области аномальной дисперсии. В этом случае лучи с более короткой длиной волны преломляются меньше, чем лучи с большей длиной волны, что приводит к обращению обычного порядка чередования призматических цветов. Для наших целен область аномальной дисперсии не представляет большого интереса, так как резонансные частоты свободных атомов лежат почти исключительно в ультрафиолетовой области спектра. Показатель преломления в видимой области спектра в таком случае всегда больше единицы.

До сих пор мы предполагали, что у системы имеется лишь одна резонансная частота. В общем случае будет существовать много таких частот даже в системе, состоящей молекул одного сорта; тогда (31) и (32) придется заменить более общими выражениями. Вновь пренебрегая временно движением ядер, мы получим вместо (31) соотношение

где число электронов для соответствующей резонансной частоты Для газов последнее соотношение можно переписать в виде

где

Используя тождество

получим вместо (36)

где

Для представления показателя преломления во всей видимой области спектра обычно достаточно учесть лишь одну или две резонансные частоты в ультрафиолетовой области Кох [14], например, нашел, что в интервале от до для водорода, кислорода и воздуха выполняется следующее соотношение;

постоянные и приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6. Дисперсионные постоянные для кислорода, водорода и воздуха в области при 0 °С и 760 мм рт. ст.

В спектральном интервале, который не содержит резонансных частот, выражение (38) с хорошей точностью можно заменить более простым. Для всех веществ, которые кажутся глазу прозрачными, таким интервалом является видимая область спектра. Обозначим через резонансные частоты с коротковолновой (фиолетовой) стороны нашего интервала, а через частоты с длинноволновой (красной) его стороны; тогда дисперсионная формула (36) при разложении в степенные ряды относительно и X соответственно примет вид

где

В такой области, свободной от поглощения, значение для газов так мило отличается от единицы, что мы можем заменить на ). Кроме того, члены с возникающие из-за резонансных частот, соответствующих ультрафиолетовой области, обычно не оказывают заметного влияния. Тогда, оставив только члены до увидим, что (41) переходит в формулу Коши [151

где

В табл. 2.7 приведены значения и для наиболее важных газов. Для иллюстрации точности формулы (43) в табл. 2.8 сравниваются друг с другом

Таблица 2.7. Значения постоянных и в дисперсионной формуле Коши для различных газов

Таблица 2.8. Наблюдаемые значения показателя преломления для воздуха и значения, даваемые дисперсионной формулой Коши (43)

наблюдаемые значения показателя преломления для воздуха и значения, даваемые формулой Коши.

В случае веществ с большой плотностью, т. е. для жидкостей или твердых тел, нельзя заменять на единицу в знаменателе второго члена (35). Тем не менее можно привести (35) к той же форме, что и выше. Так как

то

где

Как прайило, достаточно учитывать лишь конечное число резонансных частот. Отсюда следует, что величина определяемая формулой (45), представляет собой рациональную функцию и поэтому ее можно разложить на элементарные дроби. Для этой цели мы должны найти значения, при которых знаменатель обращается в нуль, т. е. корни уравнения

Обозначив их через можно привести (45) к виду

Это выражение идентично по форме с формулой (36) для газов.

Например, при наличии лишь одной резонансной частоты она будет корнем уравнения

откуда

Уравнение (48), которое можно также переписать в форме (38), известно как дисперсионная формула Зелъмейера.

До сих пор мы пренебрегали влиянием движения ядер. В действительности оно существенно лишь при очень длинных волнах (инфракрасная область). Причину этого легко понять. Электрический момент и среднюю поляризуемость приближенно можно разложить на две части — одну, связанную с электронами, и другую, связанную с ядрами, т. е.

где

Электроны почти мгновенно будут следовать за полем вплоть до довольно высоких частот, включая во многих случаях частоты всего видимого спектра. Масса же ядер, так велика, что при высоких частотах они не могут следовать за полем, т. е. для видимого света . Это видно также из дисперсионной формулы (41), где представляется двумя группами членов — одной, связанной с высокочастотными («фиолетовыми») колебаниями и другой — с низкочастотными («красными») колебаниями . Разумно предположить (и это строго следует из квантовой механики), что квазиупругие силы, связывающие ядра и электроны, одинаковы по порядку величины; следовательно, по порядку

величины частоты будут связаны соотношением

где — масса электрона, масса ядра, — частоты колебаний электронов и ядер соответственно. Для того чтобы обобщить формулы (41) и (42) и учесть движение ядер, мы можем просто предположить, что -колебания обусловлены электронами, а «красные» колебания — ядрами. Тогда придется также различать два типа коэффициентов определяемых выражением (37) — одни коэффициенты будут связаны с электронными, другие — с ядерными колебаниями. При этом по порядку величины выполняется соотношение

Следовательно, значения коэффициентов (42) дисперсионных формул будут равны по порядку величины

откуда

где численные постоянные порядка единицы. Первая группа членов соответствует электронной части поляризуемости вторая группа — ядерной части Мы видим, что, поскольку величина мала члены второй группы пренебрежимо малы при условии, что частота составляет не очень малую долю «фиолетовых» резонансных частот

Следовательно, для оптической частоты (т. е. частоты, соответствующей видимому свету) поляризация выражается, по существу, только через (как предполагалось в наших предыдущих расчетах), тогда как для статического поля она выражается через .

Рассмотрение в настоящем разделе основывалось исключительно на классической механике. Когда подобные расчеты выполняются на основе квантовой механики, взаимодействие поля с веществом по-прежнему можно описывать при помощи виртуальных осцилляторов, но число их, даже при наличии лишь одного электрона, оказывается бесконечно большим. И хотя уравнение (35) все еще остается применимым, но силы осцилляторов определяют теперь не число электронов некоторого типа, а скорее число виртуальных осцилляторов, принадлежащих одному электрону или группе электронов. В большинстве случаев заметную величину имеет лишь конечное число значений тогда как остальными можно пренебречь. Фактически полная формальная теория почти не меняется при введении квантовой механики, но с ее помощью мы можем рассчитать величины для данной электронной системы.