§ 13.2. Преломление и отражение на поверхности металла

Мы видели, что основные уравнения, описывающие распространение плоской гармонической волны в проводящей среде, отличаются от соответствующих уравнений для прозрачного диэлектрика лишь тем, что вещественные постоянные заменяются на комплексные . Отсюда следует, что формулы, полученные в гл. 1, применимы и в данном случае, поскольку они содержат лишь линейные соотношения между компонентами векторов поля плоских монохроматических волн. В частности, остаются справедливыми граничные условия для распространения волны через поверхность раздела, а, следовательно, также формулы, приведенные в § 1.5 и относящиеся к преломлению и отражению.

Рассмотрим вначале распространение плоской волны из диэлектрика в проводник, причем обе среды будем считать бесконечными, а за поверхность раздала между ними выберем плоскость По аналогии с (1.5.8) закон преломления можно записать в виде

Так как — комплексно, то комплексным окажется и . Таким образом, эта величина уже не имеет простого смысла утла преломления.

Выберем в качестве плоскости падения плоскость Тогда зависящая от координат часть фазы волны в проводнике определится выражением где (см. (1.5.4))

Из (1) и (2) и (13.1.15) имеем

Удобно выразить в форме

(q, у вещественны). Можно сразу же выразить q и у через если возвести в квадрат соотношения (36) и (4) и приравнять отдельно вещественные и мнимые части.

Отсюда следует, что

Мы видим, что поверхности постоянной амплитуды определяются уравнением

и поэтому являются плоскостями, параллельными поверхности раздела. Поверхности постоянной вещественной фазы определяются уравнением

и являются плоскостями, нормали которых образуют угол с нормалью к границе, причем

В общем случае поверхности постоянной амплитуды и поверхности постоянной фазы совпадают друг с другом, и поэтому волна в металле оказывается неоднородной.

Если квадратный корень в (9) обозначить Через , то уравнение для можно переписать в виде , т. е. в форме закона Снеллиуса. Однако здесь зависит не только от величин, характеризующих среду, но и от угла падения .

Подставляя комплексное значение для из (1) в формулы Френеля (см. п. 1.5.2), легко также получить выражения для амплитуд и фаз преломленной и отраженной волн явном виде они будут приведены в п. 13.4.1 при изложении теории слоистых проводящих сред. Здесь мы покажем, как можно получить оптические постоянные металла из наблюдений отраженной волны.

Так как, по предположению, первой средой служит диэлектрик, то отраженная волна будет обычной (однородной) волной с веществьнной фазой. Как и в (1.5.21а), компоненты амплитуды падающей волны и соответствующие компоненты отраженной волны и связаны соотношениями

Поскольку угол комплексный, то комплексны и отношения в и с при отражении происходят характерные изменения фазы Таким образом, падающий линеипо поляризованный свет при отражении от поверхности металла в общем случае становится эллиптически поляризованным

Пусть — фазы, а — абсолютные значения коэффициентов отражения, т. е.

Предположим, что падающий свет линейно поляризован и азимутальный угол равен а, т. е.

и пусть — азимутальный угол (обычно комплексный) для отраженного

света. Тогда

где

Заметим, что величина вещественна в следующих двух случаях:

1. При нормальном падении тогда так что

2. При скользящем падении тогда так что

Необходимо напомнить, что в случае нормального падения направления падающего и отраженного лучей противоположны, таким образом, отрицательная величина означает, что направление поляризации линейно поляризованного света не изменяется в пространстве. Оно меняется и при скользящем падения.

Между двумя только что рассмотренными экстремальными углами существует так называемый главный угол падения для которого При этом угле линейно поляризованный свет в общем случае превращается после отражения в эллиптически поляризованный свет, но, как легко видеть из (1.4 316) (для одна из осей эллипса поляризации параллельна, а другая перпендикулярна к плоскости падения Если, кроме того, то, согласно (13), и отраженный свет поляризован по кругу.

Рис. 13.1 Эллипс поляризации для света, отраженного от металла при главном угле падения.

Предположим, что на металл падает линейно поляризованный свет, и между вводится с помощью подходящего компенсатора (см п. 14.4.2) дополнительная разность фаз Если полная разность фаз равна нулю, то, согласно (13), отраженный свет линейно поляризован с азимутом определяемым из соотношения

По очевидным причинам угол называется углом восстановленной поляризации, хотя его обычно определяют только для падающего света, линейно поляризованного с азимутом Значения и Я, относящиеся к главному падения обозначим соответственно через и Р. Если мы представим, что вокруг эллипса поляризации отраженного света, падающего под главным углом (дополнительная компенсация отсутствует), описан прямоугольник, стороны которого параллельны и перпендикулярны плоскости падения, то отношение его сторон составляет а угол между диагональю и плоскостью падения равен (рис. 13.1).

Для дальнейшего полезно ввести такой угол что

значение соответствующее главному углу падения, обозначим через

Используя (1) и (10) и зная постоянные металла , легко найти зависимость величины от . На рис. 13.2, а она показана для типичного случая. На рис. 13.2, б для сравнения приведены аналогичные кривые,

относящиеся к случаю отражения от прозрачного диэлектрика. Для света, отраженного от поверхности металла, отсутствует тот резкий скачок А от —я до 0, который происходит при отражении света под углом Брюстера от прозрачного диэлектрика. Отсутствует также острый максимум равный бесконечности, и кривая для металла оказывается довольно гладкой и имеет сравнительно широкий максимум. Угол падения, при котором достигается это максимум, иногда называют углом наибольшой поляризации. Он очень близок к главному углу падения . Обычно доп ускают, что указанный максимум находится точно при , Это предположение почти всегда оправдывается, если что обычно и наблюдается (см. ниже табл. 13.2). Однако в общем случае эти два угла различны. Например, для серебра при длине волны 3280 А величина мала; тогда как максимум приблизительно соответствует

Рис. 13.2. Величины характеризующие изменение состояния поляризации света при отражении от типичного металла (а) и прозрачного диэлектрика (б).

Вообще говоря, проблема заключается не в том, чтобы найти по известным значениям а чтобы определить и к из экспериментально наблюдаемых амплитуды и фазы света, отраженного от металла.

Так как все величины и А являются функциями , а также , то измерение любых двух из них для какого-то значения угла падения

0, позволит, вообще говоря, найти и к. Во многих экспериментах определяют последние две из этого ряда величин, и поэтому мы выведем фундаментальные зависимости от . Из (1) и (13) имеем

Так как левую часть уравнения (17) можно привести к виду

Из (17) и (18) имеем

В видимой области спектра обычно

и поэтому величиной можно пренебречь по сравнению с . Тогда

Приравнивая вещественные части, найдем

Приравнивая мнимые части и используя (22а), получим

Эти выражения дают возможность рассчитать оптические постоянные пик по измеренным значениям при любом угле падения, В частном случае,

если измерения проводятся при главном угле падения , то и уравнения (22а) и (22б) переходят в

Иногда оказываются полезными и другие соотношения для пик. Без использования условия (20) найдсм, возводя в квадрат (19),

Если подставить

и приравнять отдельно вещественную и мнимую части, то мы получим

В частности, при главном угле падения эти уравнения принимают вид

Формулы (25) дают не , а комбинации Обращаясь к (13.1.16), мы видим, что эти величины имеют простой физический смысл. При (что всегда справедливо в оптическом диапазоне) — диэлектрическая постоянная, а — отношение проводимости к частоте. Из значений этих величин и, в частности, из их дисперсии можно получить информацию о структуре металлов (см. ниже, § 13.3).

До сих пор наш анализ относился к амплитудам компонент отраженного света, но, как мы вскоре увидим, можно получить полезную информацию и из сравнения интенсивностей отраженного и падающего света, особенно при больших длинах воли. Для нормального падения различие между исчезает, плоскость падения становится неопределенной, и можно написать

Если использовать (1) и (10) (или заменить на в (1.5.23)), то мы получим

Оптические постоянные многих металлов определялись с помощью измерений в отраженном свете. В табл. 13.2 приведены значения постоянных, найденные различными исследователями для длины волны, соответствующей желтой области видимого спектра. Металлы расположены в порядке убывания их отражательной способности Отметим, что во всех случаях и поэтому, согласно (13.1.16а), , следовательно, к отрицательны (поскольку в оптическом диапазоне На первый взгляд представляется, что отрицательной диэлектрической проницаемости нельзя приписать физический смысл.

Позже мы покажем, что это не так и что отрицательное значение можно объяснить, исходя из некоторых простых предположений об электронном механизме проводимости. Из табл. 13.2 может показаться, что значения всегда связаны с высокой отражательной способностью, однако это не является общим правилом.

Таблица 13.2. (см. скан) Оптические постоянные металлов для длины волны (Р-линия натрия) [7]

Значения, указанные в табл. 13.2, не согласуются с формулами (13.1.160) пли (13.1.24). Нацример, для меди так что для света с длиной волны тогда как, согласно таблице, Кроме того, изучение зависимости оптических постоянных от частоты показывает значительно более сложное поведение, чем предсказанное нашей формулой (см. ниже, рис. 13.3). Таким образом, необходимо сделать заключение, что наша теория не адекватна, когда ока применяется к излучению в видимой области электромагнитного спектра. Это расхождение между теорией и экспериментом, по-видимому, не так удивительно, если вспомнить, что даже для прозрачных сред соотношение, связывающее материальные постоянные с показателем преломления (соотношение Максвелла имеет ограниченную применимость. Объяснение аналогично данному ранее: мы не находим подтверждения предположению, что являются действительно постоянными и должны рассматривать их как функции частоты; следовательно, и показатель преломления, и показатель поглощения также будут зависеть от частоты. Единственное различие в механизме дисперсии заключается в том, что в прозрачной среде дисперсия связана с вынужденными колебаниями связанных электронов, тогда как в металле она связана с вынужденными колебаниями свободных электронов. Мы подробно обсудим это в § 13.3; здесь отметим лишь, что если интерпретировать как статическую диэлектрическую проницаемость и а — как статическую проводимость, то можно ожидать, что

наша теория окажется справедливой только для достаточно медленных колебаний (длинных волн). Хаген и Рубенс 181 показали, что для инфракрасного излучения с длиной волны см отражательная способность, рассчитанная по данным о статической проводимости, находится в хорошем согласии с экспериментом.

Если подставить из (13.1.24) в уравнение (28), оно примет вид (считается, что )

Когда достаточно мало, можно пренебречь единицей по сравнению с другими членами и разложить (29) в ряд по степеням Тогда мы получим

Хаген и Рубенс нашли, что при см для меди тогда как использование в (30) статической электрической проводимости дает

При увеличении длины волны величина 91 становится почти равной единице, так что трудно измерить достаточной точностью. Однако Хаген и Рубенс получили полезные оценки косвенным методом. Согласно закону Кирхгофа для теплового излучения отношение излучателыюй способности к поглощательной способности какого-либо тела зависит лишь от частаты излучения и температуры Т этого тела, но не от его природы, т. е.

Здесь — универсальная функция и Т. Очевидно, К равно излучательной способности тела, поглощательная способность которого равна единице (так называемое абсолютно черное тело). Рассмотрим металлический образец такой толщины, что вся энергия падающего излучения, которая не отражается, поглощается внутри образца. Тогда (32) и из (30), (31) и (32) получим

или

Правая часть последнего уравнения не зависит от природы металла. Это хорошо известная функция и Т, причем функция точно известна и из эксперимента, и из теории и выражается знаменитой формулой Планка.

Отсюда следует, что справедливость формулы (30) можно проверить даже тогда, когда отражательная способность 91 очень близка к единице. Определяя проводимость а и излучательную способность в зависимости от частоты и температуры, легко установить, удовлетворяет ли произведение уравнению (34). Хаген и Рубенс, используя так называемые остаточные лучи, подтвердили справедливость уравнения (34) для длинного инфракрасного излучения. Остаточные лучи — это лучи, которые остаются из всего широкого

спектрального интервала после ряда отражений от определенных кристаллов, например флуорита, каменной соли или сильвина. Указанные вещества обладают резко выраженными максимумами поглощения в спектральной области от до , следовательно, высоким селективным отражением для таких длин волн.

Рис. 13.3. Зависимость оптических постоянных серебра от длины волны. — теоретическая кривая - экспериментальная кривая — экспериментальная масштаб

На рис. 13.3 приведены экспериментальные кривые, иллюстрирующие зависимость от длины волны для серебра. Для сравнения показана также теоретическая кривая, рассчитанная по формуле (13.1 24). Здесь принят логарифмический масштаб, и поэтому теоретический график имеет вид прямой

где Воспользовавшись и (30), можно также выразить через отражательную способность (для длинных волн) в виде

График функции также приведен для сравнения на рисунке. Мы видим, что экспериментальная кривая для имеет резкий минимум вблизи , а кривая для — значительно более плоский минимум вблизи области отражательная способность серебра очень мала.

При увеличении длины волны экспериментальные кривые приближаются к теоретической кривой, рассчитанной по измеренной электропроводности.