10. Критерий Якоби для минимума.
Если экстремаль можно целиком поместить в поле и условие Лежандра выполняется для всех ее точек между 
то интеграл 
определенный (1), имеет (слабый) минимум. Остается найти критерий существования такого поля.
Пусть двухпараметрическое 
семейство экстремалей, проходящих через 
описывается уравнениями
и пусть заданная экстремаль С характеризуется 
т. е.
Кривые 
образуют поле, если существует одна кривая, проходящая через заданную точку 
на произвольно близком расстоянии от С, т. е. если уравнения (61) имеют единственное решение для 
как функций 
; это условие имеет вид
Полученное соотношение является критерием Якоби существования минимума.
Определитель 
есть функция 
вдоль заданной экстремали (62). Первая точка Р, в которой 
обращается в нуль, называется точкой, сопряженной точке 
для любого интервала 
где 
лежит между 
, существует истинный минимум.
В точке Р заданную экстремаль пересекает соседняя (бесконечно близкая к заданной); эта точка лежит на огибающей семейства (61). Следовательно, поле ограничено огибающей семейства экстремалей (61). В оптике такие огибающие являются каустическими поверхностями.
