§ 11.2. Граничные условия и поверхностные токи

Хорошо известно, что электромагнитное поле только незначительно проникает в глубь хорошего проводника. Понятие бесконечной проводимости, при которой полностью отсутствует проникновение электромагнитного поля в глубь проводника, приводит, как покажут приведенные ниже аргументы, к понятию электрического тока, существующего исключительно на поверхности проводника.

Согласно уравнениям Максвелла (см. § 1.1.3) тангенциальная компонента

Е непрерывна при пересечении бесконечно тонкого листка электрического тока, тогда как аналогичная компонента Н испытывает разрыв. Более точно, разрывна тангенциальная компонента Н, нормальная к вектору поверхностной плотности тока, и величина разрыва составляет Относительное расположение этих векторов показано на рис. 11.1. Кроме того, в соответствии

с поведением тангенциальных компонент Е и Н нормальная компонента Н непрерывна при пересечении листка тока, тогда как нормальная компонента Е разрывна и величина этого разрыва равна произведению поверхностной плотности зарядов на Таким образом очевидно, что поле в вакууме вне идеально проводящего тела таково, что на поверхности проводника имеем:

а) тангенциальная компонента Е равна нулю;

б) тангенциальная компонента Н перпендикулярна к вектору поверхностной плотности электрического тока и равна

в) нормальная компонента Н равна нулю;

г) внешняя нормальная компонента Е равна произведению на поверхностную плотность заряда.

Действие излучения, падающего на идеально проводящее тело, удобно интерпретировать, выражая его через индуцированные поверхностные токи. Если — электрический вектор падающего поля, — электрический вектор «рассеянного» поля, обусловленного индуцированным током, то полный электрический вектор повсюду равен Следовательно, теперь дифракционную задачу можно сформулировать следующим образом: дано требуется найти поле создаваемое током, распределенным по поверхности проводника, которое имеет такую величину, что его тангенциальная составляющая на поверхности равна тангенциальной составляющей взятой со знаком минус, Стоит подчеркнуть, что приведенное выше граничное условие а) является основным и вместе с тем достаточным условием единственности решения вопроса лишь в том виде, как он сформулирован. Что же касается других условий; то б) связывает поле с индуцированным током, а условия в) и г) не представляют особого интереса.

Рис. 11.1. Взаимное расположение векторов и — магнитные поля на первой и второй сторонах поверхности соответственно, - вектор поверхностной плотности тока.

Следует отметить, что из равенства во внутренних точках проводника вытекает существование на любой замкнутой поверхности единственной плотности тока, которая обусловливает во всех точках внутри Я поле, создаваемое источниками, находящимися вне Аналогично из рассмотрения случая, когда граница идеального проводника, на которую падает излучение, является бесконечной плоскостью, следует, что в любой плоскости существует единственная плотность тока, которая обусловливает на одной стороне этой плоскости поле, создаваемое источниками, расположенными на другой ее стороне.

В задачах о дифракции на идеально проводящих экранах существенно предположение, что они бесконечно тонки; если такое предположение не делается, то математические трудности значительно возрастают. Конечно, непрозрачность экрана по-прежнему подразумевается, причем это означает, что экран — идеальный проводник, толщина которого стремится в пределе к нулю. Из всего сказанного выше можно сделать вывод, что действие такого экрана мы вправе уподобить действию листка электрического тока, с той разницей, что теперь этот листок уже не является замкнутой поверхностью. Особый интерес представляет относительно простой случай плоского листка. В этом случае сразу же можно вывести некоторые важные соотношения, которым удовлетворяют излучаемые этим листком поля Полученные соотношения приведены ниже.

Допустим, что листок тока занимает часть плоскости Тогда из соображений симметрии ясно, что

Кроме того, если компоненты плотности тока в листке обозначить через то, очевидно, при имеем

Верхний или нижний знак берется в зависимости от того, обращается ли у в нуль со стороны положительных или отрицательных значений. В следующем параграфе рассматриваются приложения эгих простых соотношений к интересной задаче дифракции на плоском экране и выводится полезная формула, которая, в частности, служит доказательством существования точной электромагнитной аналогии принципа Бабине.