§ 2.4. Описание распространения электромагнитных волн с помощью интегральных уравнений

В начале настоящей главы был намечен подход, позволяющий описывать распространение электромагнитных волн с помощью интегральных уравнений, а в последующих разделах были введены вспомогательные величины, необходимые для этой цели. Теперь мы сформулируем эти интегральные уравнения и рассмотрим некоторые их следствия, что можно сделать, оставаясь полностью

в рамках макроскопической теории, излагаемой на протяженны данной книги.

В рамках этой теории интегральные уравнения эквивалентны уравнениям Максвелла и представляют собой математическое описание электромагнитных явлений с помощью взаимодействий на конечных расстояниях (им, конечно, необходимо время для распространения). Определенные преимущества такого подхода, который в ряде случаев оказывается мощнее обычного подхода, основанного на дифференциальных уравнениях, заключаются в том, что он связывает макроскопические явления с молекулярными, рассмотренными в предыдущем разделе.

Как мы уже говорили выше, можно считать, что молекулы, составляющие вещество, ведут себя в поле падающих волн подобно диполям. При этом все излучаемые диполями волны действуют на любой другой диполь с эффективной силой и определяют среднее измеряемое поле. Предположим, что диполи равномерно распределены по среде, и среднее значение их электрического момента в единице объема Р будем рассматривать как основную величину, На самом же деле распределение молекул в среде никогда не бывает совершенно равномерным (т. е. имеются флуктуации плотности) и, следовательно, электрический момент отдельных частиц флуктуирует около среднего значения. Возникающие явления настоящая теория может объяснить, проводя расчеты несколько дальше, т. е. рассчитывая не только средние величины, но и их среднеквадратичные отклонения. Подобные расчеты важны для некоторых проблем, например для объяснения голубого цвета неба, впервые данного Рэлеем. Но такое распространение теории здесь провести невозможно.

2.4.1. Основное интегральное уравнение. Рассмотрим распространение электромагнитной волны в однородной изотропной немагнитной среде. Электрическое и магнитное поля Е) и которые действуют на диполь внутри среды, можно разделить на поля падающей волны (распространяющиеся со скоростью света в вакууме с) и вклад, создаваемый всеми диполями, т. е.

здесь суммирование распространяется на все диполи, кроме . В точке где расположен диполь, поле от диполя можно определить из формул (2.2.49) - (2.2.51), а именно

где — момент диполя, и операция производится относительно координат диполя.

Как мы уже говорили, распределение можно с хорошим приближением считать непрерывным, т. е. момент диполей можно рассматривать как непрерывную функцию координат (и времени) . Концентрацию N также будем считать непрерывной функцией координат . В этом случае полный электрический дипольпый момент Р единицы объема определяется формулой (2.3.14), т. е.

По причинам, изложенным в § 2.3, мы пренебрегли вкладом в (3) силы, создаваемой магнитным полем. Поскольку допускается также, что вещество немагнитно в устанавливаемые ниже условия динамического равновесия не будет входить эффективное поле Н.

Если подставить (2) в (1) и перейти к непрерывному распределению, используя (3), то получим

где

Если точка наблюдения находится вне рассматриваемой среды, интеграл берется но всей среде. Если она расположена внутри среды, то необходимо вначале исключить небольшую область, занятую атомом; будем считать эту область небольшой сферой о радиуса а. В коненном счете мы обычным образом перейдем к пределу .

Уравнение (4) представляет собой интегро-дифференцилльное уравнение относительно Е. Если решить его, то можно получить Н из (5). Эти два уравнения, по существу, эквивалентны уравнениям Максвелла для изотропных немагнитных веществ. Обобщение на магнитные среды можно провести с помощью второго вектора Герца.