§ 8.9. Граничная дифрагировавшая волна

Если рассматривать край дифракционного отверстия (или препятствия из точек, лежащих внутри геометрической тени), то он кажется светящимся. Это было известно уже Юнгу [100], пытавшемуся еще до Френеля теоретически объяснить дифракцию, исходя из волновой теории. полагал, что падающий свет испытывает род отражения краю дифрагирующего тела и рассматривал дифракционную картину как результат интерференции падающей волны и

отраженной «граничной волны». Однако представления Юнга были выражены только качественно и не получили широкого признания.

Наличие элементов истины в теории Юнга стало очевидным только после того, как Зоммерфельд получил в 1894 г. строгое решение задачи о дифракции плоских волн на плоском полубесконечном отражающем экране (см. § 11.5). Это решение показывает, что в геометрической тени свет распространяется в виде цилиндрической волны, которая кажется исходящей от края экрана, тогда как в освещенной области она представляется суперпозицией цилиндрической и исходной падающей волн.

Возникает вопрос, можно ли и в более общем случае объяснить дифракцию как совместное действие падающей и граничной волн. Этот вопрос был исследован Магги [101] до появления работы Зоммерфельда.

Рис. 8.46. К выводу выражении для граничной дифрагировавшей волны.

Но его результаты, по-видимому, были забыты. Позднее независимое и более полное исследование было выполнено Рабиновичем [105] (см. также [106]; исчерпывающий обзор исследовании граничной волны дан в [107]). Теория Магги—Рабиновича в дальнейшем была развита Миамото и Вольфом [107] (см. также [109]).

Рассмотрим монохроматическую световую волну, распространяющуюся от точечного источника через отверстие в плоском непрозрачном экране. Как и раньше, предположим, что линейные размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны, но малы по сравнению с расстояниями от и точки наблюдения Р до экрана; допустим также, что углы падения света и углы дифракции малы. Тогда в приближениях, принятых в теории Кирхгофа (см. п. 8.3.2), имеем

где — дифракционное отверстие, а другие символы имеют такие же значения, как и раньше. Построим замкнутую поверхность, ограниченную отверстием , поверхностью усеченного конуса с вершиной в и образующими, проходящими через край отверстия, и частью большой сферы с центром в Если через обозначить расстояние от , то получим строго из интегральной теоремы Кирхгофа

в зависимости от того, находится ли точка Р внутри выбранной поверхности или вне ее. Теперь таким же путем, как и в п. 8.3.2, можно сделать вклад от

пренебрежимо малым, взяв радиус сферы достаточно большим. Тогда из (1) и (2) получим

где

и

представляет возмущение, предсказанное геометрической оптикой, поэтому должно представлять влияние дифракции. Теперь покажем, что можно преобразовать в криволинейный интеграл по краю отверстия.

Отметим сначала, что сферы пересекают под прямым углом усеченный конус Поэтому на

Кроме того,

Следовательно, (5) сводится к

Можно взять в качестве элемента площадь ограничению участками двух соседних образующих и дугами окружностей, по которым сферы пересекают конус (рис. 8.47).

Рис. 8.47. К выводу выражения для граничной дифрагировавшей волны.

Если — угол между выбранными двумя образующими, то

Пусть и — точки пересечения двух образующих с краем Г отверстия, и пусть — длина элемента Г между этими двумя точками. Если соответствующий элемент дуги окружности, по которой сфера радиуса пересекает то

Из (9) и (10) имеем

Далее, беря проекцию на нормаль к конусу в (нормали в этих точках параллельны), находим

Подставляя (11) и (12) в (8), получим

Далее покажем, что подынтегральное выражение второго интеграла в (13) представляет собой полный дифференциал, т. е.

Выполнив дифференцирование в правой части (14), получим

Теперь из треугольника имеем

отсюда, дифференцируя по и считая постоянными, находим

Подставляя это в (15), получим тождество (14). Следовательно,

и окончательно (13) принимает вид

Это выражение совместно с (3) и (4) называется «представлением Рабиносича» дифракционного интеграла Кирхгофа и может рассматриваться как математическая формулировка теории Юнга. В ней дифракция рассматривается как взаимодействие падающей волны, распространяющейся по законам геометрической оптики, и граничной дифрагированной волны, которую можно считать возникшей вследствие рассеяния падающего света на границе отверстия.

Поскольку — непрерывная функция положения, из соотношения (4) следует, что граничная волна испытывает разрыв на границе геометрической тени, который компенсирует разрыв «геометрической волны» Разрыв в обусловлен наличием в знаменателе (19) множителя

Воспользовавшись аргументацией, совпадающей с доводами, выдвинутыми в связи с классификацией дифракционных явлений (см. стр. 355) и

иллюстрирующими физический смысл принципа стационарной фазы (см. приложение 3), находим, что только те точки в области интегрирования вносят существенный вклад в для которых в подынтегральном выражении фаза постоянна, т. е.

Это соотношение можно также записать в виде «закона отражения»