2. Метод стационарной фазы.

Метод стационарной фазы отличен от метода наибыстрейшего спуска, хотя они и весьма сходны между собой. Метод стационарной фазы менее общий, и его труднее доказать аналитически, но он часто теснее связан с физической задачей. Подлежащий исследованию интеграл удобнее записать в виде

чем в форме (1), поскольку экспонента обычно описывает бегущую волну.

В обозначениях (9) кривая снова описывает путь интегрирования; однако в (14), в противоположность методу наибыстрейшего спуска, амплитудная часть экспоненты остается постоянной вдоль этого пути, тогда как фаза меняется с максимальной скоростью. Можно, как и раньше, показать, что основные вклады в интеграл вносят отрезки пути, лежащие вблизи седловых и концевых точек, однако физическое толкование этого результата проводится теперь не в терминах спадания амплитуды, а в терминах «фазовой интерференции» (см, § 8.3).

Метод стационарной фазы был впервые использован Кельвином [17]. Строгое математическое рассмотрение изложенных выше утверждений принадлежит Ватсону [18]; оно основано на том, что если — положительная постоянная и полная флуктуация функции ограничена при то при

Исследование Ватсона имеет, однако, весьма ограниченное применение. В частности, с его помощью, по-видимому, невозможно провести полное асимптотическое разложение. Полное разложение было подробно исследовано в работе Фокке [20] для случая, когда — вещественная функция, а путь интегрирования совпадает с действительной осью. Фокке использовал метод нейтрализующей функции, предложенный ранее Вандер-Корпутом [21].

Следствия, вытекающие из метода стационарной фазы и из метода наибыстрейшего спуска, весьма сходны. Так, если путь интегрирования в (14) начинается в седловой точке и уходит в бесконечность вдоль кривой не встречая другой седловой точки, то приближение, соответствующее (12), имеет вид

Однако здесь необходимо отметить одно различие между обоими методами. При использовании метода наибыстрейшего спуска с путем интегрирования, начинающимся в седловой точке и не уходящим на бесконечность, вклад в асимптотическое разложение от концевой точки пути оказывается бесконечно малым по сравнению со вкладом от седловой точки, поскольку первый содержит дополнительный экспоненциальный множитель. Вместе с тем при использовании метода стационарной фазы вклад от концевой точки пути интегрирования равен но порядку величины вкладу от седловой точки, деленному на поэтому он не входит в асимптотическое приближение только в том случае, если учитывается лишь первый член разложения.

Таким образом, методы наибыстрейшего спуска и стационарной фазы (если отвлечься от их математического представления) состоят в выборе такого пути интегрирования, вдоль которого подынтегральное выражение, содержащее экспоненциальный множитель, вносит пренебрежимо малый вклад в интеграл везде, за исключением окрестностей некоторых критических точек, являющихся либо седловыми, либо концевыми точками пути интегрирования.