§ 10.4. Интерференция и дифракция квазимонохроматического света

Как мы видели, для адекватного описания интерференции частично когерентного света, вообще говоря, необходимо знать взаимную функцию когерентности или, что эквивалентно этому, обычные интенсивности и комплексную степень когерентности Здесь мы ограничимся важным случаем квазимонохроматического света, т. е. света, состоящего из спектральных компонент, которые занимают частотный интервал малый но сравнению со средней частотой Мы покажем, что в этом случае теория принимает более простой вид. В частности, мы найдем, что при определенном дополнительном предположении, которое выполняется во многих приложениях, вместо можно применять корреляционные функции, не зависящие от параметра .

10.4.1. Интерференция квазимонохроматического света. Взаимная интенсивность.

Обратимся вновь к интерференционному эксперименту, изображенному на рис. 10.1. Согласно уравнению (10.3.20) интенсивность в точке интерференционной картины задается соотношением

где

Допустим, что мы имеем здесь дело с квазимонохроматическим светом. Тогда из уравнения (10.3.18) следует (аналогично тому, как это было показано в связи с уравнением (10.2.11)), что по сравнению с величины будут медленно меняющимися функциями . Более того, если отверстия в достаточно малы, интенсивности света, дифрагировавшего на каждом отверстии по отдельности, сохраняются в достаточной степени постоянными в области, в которой многократно меняют знак. Отсюда следует, что распределение интенсивности в окрестности любой точки слагается из почти однородного фона

Рис. 10.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине, образованной двумя квазимонохроматическими пучками равной интенсивности со степенью когерентности -когерентная суперпозиция , б - частично когерентная суперпозиция - некогерентная суперпозиция и наложенного на него синусоидального распределения с почти постоянной амплитудой, равной На рис. 10.2 показано распределение полной интенсивности для трех типичных случаев. Максимумы и минимумы интенсивности вблизи с хорошей точностью определяются выражениями

Следовательно, видность полос в точке равняется

Эта формула связывает видность полос с интенсивностями двух пучков и их степенью когерентности. Если, как часто бывает, интенсивности обоих пучков равны , то (4) переходит в

т. е. в этом случае видность полос равна степени когерентности.

Согласно (1) и (2) положения максимумов интенсивности вблизи определяются выражением

Таким же выражением определялись бы положения максимумов при освещении отверстий строго монохроматическим светом с длиной волны X, если бы фаза колебаний в отставала относительно фазы в на Согласно (7.3.7) отставание фозы на величину соответствует смещению интерференционной картинг направлении, параллельном на величину где расстояние между , а — расстояние между экранами А и . Следовательно, полосы, полученные с квазимомвхроматичным светом, смешрны относительно полос, которые обрасосались бы при синфазном освещении точек монохроматическим светом на величину

в направлении, параллельном линии, соединяющей отверстия.

Мы ьидим, что из измерений видности и положения интерференционных полос можно определит амплитуду и фазу комплексной степени когерентности квазимонохроматических пучков света. Метод их определения тесно связан с описанным в п. 7.5.8 методом Майкельсона для определения распределения интенсивности в спектральных линиях из измерений кривых нидности. Из уравнений (10.3.10) и (10.3.30) следует, что

где — спектральная плотность. Следовательно, согласно обратной теореме Фурье, пропорциональна фурье-образу величины Но мы только что видели, что модуль по существу равен видности полос, образующихся в соответствующем интерференционном эксперименте, а фаза связана с их положением простым соотношением. Таким образом, мы приходим к такому же способу расчета каким пользовался Майкельсон. Очевидно, можно считать, что кривые видности, приведенные на рис. 7.54 и 7.55, представляют как функцию разности хода двух интерферирующих пучков.

На практике время задержки одного интерферирующего пучка относительно другого часто довольно мало, и тогда приведенных выше формулы легко упростить. Согласно уравнениям (10.3.10), (10.3.18) и (10.3.30) имеем

Если модуль так мал, что для всех частот, при которых имеет заметную величину, т. е. если

то, очевидно, мы внесем лишь небольшую ошибку, если заменим экспоненциальный член подынтегрального выражения в (7) единицей. Условие (8) означает, что, согласно (7.5.105), должен быть мал по сравнению с временем когерентности света. При этом условии незначительно

отличаются от соответственна. Удобно положить

Теперь уравнения (10.3.10) и (10.3.18) дают при выполнении условия (8)

Таким образом, при выполнении условия (8) во всех наших формулах мы можем заменить на величины, стоящие в правых частях соотношений (10а) и (10б) соответственно. В частности, закон интерференции (1) примет.

Он будет выполняться до пор, пока разность хода между интерферирующими пучками будет мала по сравнению с длиной когерентности т. е. до тех пор, пока

где использовано соотношение .

Уравнение (11) является основной формулой элементарной (квазимоно-хроматической) теории частичной когерентности. Эта теория составит предмет рассмотрения в оставшейся части настоящего параграфа; в § 10.5 будут рассмотрены некоторые ее приложения. Если справедливо уравнение (11) (т. е. выполнены неравенства (8) или (12)), то корреляция между колебаниями в любых двух точках волнового поля характеризуется не т. е. величиной, которая зависит не от разности времен а от положения этих точек. В пределах применимости элементарной теории мы можем написать, как видно из (10а),

так что представляет степень когерентности колебаний в точках Из уравнения (11) следует, что фаза величины представляет собой эффективную разность фаз этих колебаний. Величину (так же, как и частным случаем которой она является) обычно называют комплексной степенью когерентности (иногда комплексным коэффициентом когерентности), величину -взаимной интенсивностью.