1.3.3. Гармонические волны. Фазовая скорость.

В точке пространства возмущение, вызнанное волной, зависит только от времени, т. е.

Из приведенных замечаний о цвете очевидно, что особый интерес представляет периодическая функция Г. Поэтому рассмотрим случай, когда имеет вид

Величина называется амплитудой, а аргумент косинуса фазой. Величина

называется частотой и представляет число колебаний в секунду. Величина называется угловой (или циклической) частотой и дает число колебаний в секунд При замене значение функции остается неизменным, поэтому Т является периодом колебаний. Волновые функции (т. е. решения волнового уравнения) в форме (14) называют гармоническими относительно времени.

Рассмотрим вначале волновую функцию, которая представляет гармоническую плккую волну, распространяющеюся в направлении, заданном единичным вектором . Согласно п. 1.3.1 она получается при замене в формуле на т. е.

Уравнение (16) не изменится, если заменить на , где

Длина к называется длиной волны. Полезно также определить приведенную длину волны

Эта длина волны соответствует распространяющейся в вакууме гармонической волне той же частоты В спектроскопии пользуются также понятием волнового числа к, которое определяется как число длин волн в вакууме, приходящееся на единицу длины

Удобно также ввести векторы и к, направления которых совпадают с направлением распространения а длины соответственно равны

и

Вектор называется волновым вектором или вектором распространения в среде, а - соответствующим вектором для вакуума.

Вместо постоянной применяют также понятие длины пути представляющей собой расстояние, на которое удаляется волновой фронт при увеличении фазы на , т. е.

Рассмотрим теперь гармонические волны более сложной формы. В общем случае вещественную гармоническую скалярную волну с частотой со можно определить как вещественное решение волнового уравнения вида

где и — вещественные скалярные функции положения. Поверхности

называют поверхностями постоянной фазы, или волновыми поверхностями. В отличие от предыдущего случая, поверхности постоянной амплитуды волны (23), вообще говоря, не совпадают с поверхностями постоянной фазы. Говорят, что такая волна неоднородна.

Расчеты, связанные с гармоническими волнами, упрощаются, если использовать экспоненциальные функции вместо тригонометрических. Уравнение (23) можно записать в виде

где

а символ означает, что берется вещественная часть. Подставляя (26) в волновое уравнение (1), мы найдем, что должно удовлетворять уравнению

Величину называют комплексной амплитудой волны. В частности, для плоской волны имеем

Если операции, производимые над V, линейны, то в выражении (25) можно опустить символ и оперировать прямо с комплексной функцией. При этом вещественная часть окончательного выражения будет представлять изучаем) физическую величину. Однако если приходится иметь дело с нелинейными операциями, такими, как возведение в квадрат и т. д. (например, при расчетах плотности электрической или магнитной энергии), то, вообще говоря, необходимо взять действительные части и оперировать только с ними.

В отличие от плоской гармонической волны, волна более общего вида (25) не периодична в пространстве. Однако фаза одинакова для при условии, что

Обозначив через единичный вектор в направлении и написав найдем отсюда

Эта величина минимальна, когда вектор перпендикулярен к поверхности

посгоянной фазы, т. е. когда причем тогда значение (30) будет равно

Величина называется фазовой скоростью и равна скорости, с которой распространяется каждая поверхность постоянной фазы. Для плоской электромагнитной волны из (28) найдем , учитывая (21), получим Для волн более сложной формы, фазовая скорость в общем случае отличается от и меняется от точки к точке даже в однородной среде. Однако ниже (см. п. 3.1.2) мы увидим, что при достаточно большой частоте фазовая скорость приблизительно равна отношению даже для волн, у которых поверхности постоянной фазы не являются плоскими.

Необходимо отметить, что выражение (30) для не является компонентой фазовой скорости в направлении т. е. фазовая скорость не ведет себя, как вектор. С другой стороны, величина, обратная ей, т. е. величина

как видно из этого выражения, есть компонента вектора в направлении

В определенных случаях фазовая скорость может превышать с. Для плоских волн это осуществляется, когда меньше единицы, как в случае диспергирующих сред в областях так называемой аномальной дисперсии (см. и. 2.3 4). Согласно теории относительности сигналы не могут распространяться со скоростью, превышающей с. Это означает, что фазовая скорость не может соответствовать скорости распространения сигнала. В самом деле, легко видеть, что фазовую скорость нельзя определить экспериментально, и поэтому следует считать ее лишенной какого-либо прямого физического смысла. Для измерения фазовой скорости необходимо было бы сделать отметку на бесконечной гладкой волне и измерить скорость этой отметки, что, однако, означало бы замену бесконечной гармонической волны другой функцией координат и времени.