9. Минимум вариационного интеграла, когда один конец кривой связал с поверхностью.
С помощью
-функции легко определить минимум вариационного интеграла (1) относительно всех кривых с одной общей концевой точкой
а другими, связанными с заданной поверхностью
Рис. 7. К определению минимума вариационного интеграла для всех кривых, один конец которых фиксирован, а другой связан с поверхностью.
Кривая, очевидно, должна совпадать с одной из экстремалей двухпараметрического
семейства, проходящей через точку
и нужно лишь узнать, с какой из них. Среди всех
экстремалей имеется только одна которая ортогональна поверхности
и легко показать, что именно она служит решением данной задачи. Для этого обозначим через
точку пересечения такой экстремали с поверхностью
и окружим ее полем всех экстремалей, перпендикулярных к поверхности. Пусть
— любая экстремаль, проходящая через
- точка ее пересечения с поверхностью (рис. 7). Тогда интеграл Гильберта
обращается в нуль. Следовательно, интеграл
вдоль пути
равен вариационному интегралу
Разность
можно выразить точно таким же образом, как и выше, через (
-функцию; тогда, если условие (58) выполняется, она положительна для всех
отличных от