9. Минимум вариационного интеграла, когда один конец кривой связал с поверхностью.

С помощью -функции легко определить минимум вариационного интеграла (1) относительно всех кривых с одной общей концевой точкой а другими, связанными с заданной поверхностью

Рис. 7. К определению минимума вариационного интеграла для всех кривых, один конец которых фиксирован, а другой связан с поверхностью.

Кривая, очевидно, должна совпадать с одной из экстремалей двухпараметрического семейства, проходящей через точку и нужно лишь узнать, с какой из них. Среди всех экстремалей имеется только одна которая ортогональна поверхности и легко показать, что именно она служит решением данной задачи. Для этого обозначим через точку пересечения такой экстремали с поверхностью и окружим ее полем всех экстремалей, перпендикулярных к поверхности. Пусть — любая экстремаль, проходящая через - точка ее пересечения с поверхностью (рис. 7). Тогда интеграл Гильберта обращается в нуль. Следовательно, интеграл вдоль пути равен вариационному интегралу Разность можно выразить точно таким же образом, как и выше, через (-функцию; тогда, если условие (58) выполняется, она положительна для всех отличных от