ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА, ПРИВЕДЕННОГО В П. 10.7.3
Пусть 
— произвольные функции, в общем случае комплексные, от вещественной переменной 
и пусть 
— вещественный параметр. Тогда
или
Минимум этого выражения, квадратичного по Я, определяется дифференцированием, т. е.
Корень 
уравнения (3) равен
Если подставить его в (2), то получим
Пусть
Тогда
и (5) после интегрирования правой части по частям и в предположении, что 
при 
принимает вид
Это и есть требуемое неравенство.
Равенство в (8) имеет место только в случае, когда выполняется равепсюо в (1), что возможно только при 
или, используя (6), при
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
где А — постоянная. Пригодны только решения с 
поскольку в противном случае 
не будет обращаться в нуль на бесконечности. Следовательно, (8) становится равенством тогда и только тогда, когда 
есть функция Гаусса.
