ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА, ПРИВЕДЕННОГО В П. 10.7.3
Пусть
— произвольные функции, в общем случае комплексные, от вещественной переменной
и пусть
— вещественный параметр. Тогда
или
Минимум этого выражения, квадратичного по Я, определяется дифференцированием, т. е.
Корень
уравнения (3) равен
Если подставить его в (2), то получим
Пусть
Тогда
и (5) после интегрирования правой части по частям и в предположении, что
при
принимает вид
Это и есть требуемое неравенство.
Равенство в (8) имеет место только в случае, когда выполняется равепсюо в (1), что возможно только при
или, используя (6), при
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
где А — постоянная. Пригодны только решения с
поскольку в противном случае
не будет обращаться в нуль на бесконечности. Следовательно, (8) становится равенством тогда и только тогда, когда
есть функция Гаусса.