ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Общая черта уравнений классической физики состоит в том, что все они могут быть выведены из вариационных принципов. Принцип Ферма в оптике (1657 г.) и принцип Мопертюи в механике (1744 г.) служат примерами наиболее ранних вариационных принципов. Из соответствующих вариационных принципов можно также получить уравнения упругости, гидродинамики и электродинамики.

Однако при рассмотрении уравнений полей, содержащих, как правило, четыре или большее число независимых переменных практически невозможно воспользоваться тем, что решение является стационарным значением некоторых интегралов, так как само решение дифференциальных уравнений в частных производных представляет большие трудности. В этих случаях использование вариационного принципа дает преимущество лишь при выводе законов сохранения, в частности закона сохранения энергии. Другое дело, если решаются задачи с одной независимой переменной (время в механике или длина луча в геометрической оптике). В этом случае имеют дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями, и оказывается, что применение вариационного принципа существенно упрощает исследование решения задачи. Фактически такой подход является непосредственным обобщением обычной геометрической оптики. В своем современном виде он разработан главным образом Гильбертом, и рассуждения, изложенные выше, базируются на материалах его неопубликованных лекций, прочитанных в Геттингене примерно в 1903 г. Здесь приводится теория лишь для трехмерного пространства , однако ее легко обобщить на многомерный случай.

1. Уравнения Эйлера как необходимое условие экстремума.

Пусть — заданная функция с непрерывными частными производными до второго порядка включительно по всем пяти переменным. Пусть далее С — произвольная кривая в пространстве Будем считать, что производные от х и у также непрерывны до второго порядка включительно. Если положить

(штрих обозначает дифференцирование по ), то интеграл

будет функцией другими словами, интеграл (1) представляет собой функционал. Основная задача вариационного исчисления состоит в следующем.

Найти такой участок кривой С между двумя заданными точками чтобы интеграл (1) имел экстремальное значение (минимальное или максимальное).

Необходимые условия, которым должна удовлетворять такая кривая С, называемая экстремалью, выводятся с помощью простого линейного варьирования. Выберем для этого функцию с непрерывной первой производной, лоторая обращается в нуль в конечных точках, т. е.

и проведем новую кривую С, заменив координату х экстремали величиной где малый параметр. Тогда уравнение (1) станет функцией т. е.

Величина

называется первой вариацией по х. Обращение в нуль первой вариации, т. е. справедливость соотношения

является, очевидно, необходимым условием экстремума.

Проинтегрировав первый член в (4) по частям и воспользовавшись граничными условиями (2), получим

где обозначает . Заменяя теперь у на гц, аналогичным образом полечим

Поскольку можно выбирать произвольно в интервале то из вытекает, что условия эквивалентны следующим двум дифференциальным уравнениям, называемым уравнениями Эйлера

Соотношения (7а) и (7б) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно Оставим члены, содержащие производные наивысшего порядка, а именно:

Эти уравнения можно разрешить относительно если соответствующий определитель не равен нулю, т. е.

Предположим, что это условие выполняется во всей рассматриваемой нами нятимерпой области.

Решение дифференциальных уравнений второго порядка содержит четыре произвольные постоянные; следовательно, экстремали образуют четырехпараметрическое семейство кривых экстремалей).