1.4.3. Гармонические векторные волны произвольной формы.

Основные результаты предыдущих разделов легко распространить на гармонические волны более сложной формы.

Вещественная гармоническая векторная волна общего вида является решением векторного волнового уравнения. Проекции V на оси координат представляются выражениями вида (1.3.23), т. е.

где — вещественные функции координат. Для плоской гармонической волны, рассмотренной в предыдущем разделе, величины а постоянны и

Удобно записать (47) в виде

где

Если выбрать другое положение осей, то каждая компонента V в новой системе вновь примет форму (47), так как каждая новая компонента будет линейной комбинацией старых и может поэтому равняться лишь сумме членов с

Мы можем рассматривать как компоненты двух вещественных векторов и . Тогда

С помощью разложения Фурье можно выразить произвольную векторную волну в виде суперпозиции волн такого типа.

Как и в случае скалярных волн, часто удобно пользоваться комплексным представлением. Запишем (50) в форме

где — комплексный вектор вида

а символ означает, что берется вещественная часть. Мы можем, как и в соответствующем случае скалярных волн, оперировать прямо с комплексной величиной, опуская символ если операции над V линейны. Вещественная

часть окончательного выражения тогда представляет рассматриваемую физическую величину.

Действия с комплексными векторами производятся по обычным правилам векторной алгебры и алгебры комплексных чисел. Например, вектор, сопряженный с имеет вид

Аналогичным образом

Для. иллюстрации расчетов с комплексными векторами выведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем, для плотностей энергии и вектора Пойнтинга в случае гармонического электромагнитного поля. Электрический и магнитный векторы запишутся в виде

где — комплексные векторные функции координат. Так как оптические частоты очень велики порядка нельзя наблюдать мгновенные значения ни одной из таких быстро осциллирующих величин. Можно говорить лишь об их значениях, усредненных по времени за интервал (скажем, ), который велик по сравнению с основным периодом . В частности, средняя по времени плотность электрической энергии равна

Но

Так как, по предположению, интервал Т велик по сравнению с Т, величина мала по сравнению с единицей, и поэтому можно пренебречь интегралом, содержащим Подобным же образом можно пренебречь интегралом, содержащим и окончательно мы получим

Аналогично средняя по времени плотность магнитной энергии запишется в виде

Среднее значение вектора Пойнтинга равно

Простую форму принимает также закон сохранения энергии. Для непроводящей среды , где не производится механическая работа, находим, усредняя по времени уравнение (1.1.43),

Если проинтегрировать (57) по произвольному объему, который не содержит ни источника, ни поглотителя энергии, и применить теорему Гаусса, то получим

Здесь — вектор внешней нормали к граничной поверхности, по которой проводится интегрирование. Таким образом, среднее значение полного потока энергии через любую замкнутую поверхность равно нулю.

Вернемся теперь к гармонической векторной волне общего вида (50) и исследуем поведение V в точке пространства . В общем случае при изменении времени конец вектора V описывает эллипс. Поэтому волна вида (50), как и плоская волна, в общем случае также эллиптически поляризована. Чтобы показать это, отметим прежде всего, что с изменением времени конец вектора V описывает кривую в плоскости, определяемой векторами . Из периодичности V следует, что эта кривая должна быть замкнутой. Мы можем положить

где — произвольная скалярная величина. Выразим а и через .

Выберем так, чтобы векторы а и оказались перпендикулярными друг к другу, и допустим, что Чтобы а и были ортогональны, должно удовлетворять уравнению

т. е.

В качестве параметров, определяющих волну, вместо шести компонент векторов и будем рассматривать пять независимых компонент ортогональных векторов а и и соответствующий фазовый фактор е. Тогда из соотношений (51), (52) и (59) находим

Взяв декартову систему координат с началом в и с осями х и у, направленными по а и получим

Это уравнение эллипса (эллипс поляризации)

длины полуосей которого равны а и , а направления осей совпадают с осями координат х и у. С помощью элементарной геометрии можно показать, что и являются парой сопряженных полудиаметров эллипса.

Как и в случае плоских волн, конец вектора может описывать эллипс в двух направлениях, соответствующих левой и правой поляризации; они различаются знаком смешанного произведения .

Длины полуосей эллипса поляризации легко найти из выражений (60) и (62). Согласно (60)

Из (62) имеем

Следовательно,

Аналогично получим

Чтобы найти выражение для угла между запишем уравнение эллипса в параметрической форме

где — вспомогательный угол, показанный на рис. 1.9. Из элементарной геометрии известно, что этот угол связан с полярным углом точки соотношением

Сравнение (64) и (67) показывает, что в данном случае . Согласно когда так что угол для вектора равен . Следовательно, угол между и а определяется выражением

Рис. 1.9. К выводу уравнений (67) и (68).

Если угол между и обозначить через у и ввести вспомогательный угол определив его соотношением

то (62) примет вид

Суммируем сказанное. Если векторы и заданы, у — угол между ними, вспомогательный угол, определяемый равенством (70), то главные полуоси эллипса и угол который большая ось образует с задаются соотношениями

где

Как и для плоских волн, особый интерес представляют два случая, а именно случаи, когда эллипс вырождается в окружность или прямую. Для волны, поляризованной по кругу , а следовательно, и не определены. Согласно (62) для этого необходимо, чтобы

Для линейно поляризованной волны малая ось равна нулю и тогда из

(66) находим

В заключение мы хотим подчеркнуть, что понятие «поляризация» относится к поведению волны в данной точке поля, и поэтому состояние поляризации будет, вообще говоря, неодинаковым в различных точках поля. Таким образом, волна может быть поляризованной линейно или по кругу в одних точках и эллиптически поляризованной в других. Только в специальных случаях, например для однородной плоской волны, состояние поляризации одинаково во всех точках поля,