§ 4.5. Стигматическое отображение пучками с большой угловой апертурой

Законы параксиальной оптики были получены в предположении, что размеры предмета и углы, которые образуют лучи с осью, достаточно малы. Часто приходится иметь дело с оптическими системами и малыми предметами, но большими углами наклона лучей относительно оси.

Рис. 4.18. К выводу условия синусов и условия Гершеля.

В таких случаях имеются два простых условия существования стигматического отображения, называемых условием синусов и условием Гершеля [37].

Пусть точка предмета, находящаяся на оси, и произвольная близкая к ней точка, не обязательно лежащая на оси. Предположим, что система отображает эти точки стигматически и их изображения.

Пусть — координаты точек причем координаты берутся относительно прямоугольной системы с центром в , а координаты относительно системы с параллельными осями и центром в О; оси в этих системах выбраны так, что они направлены вдоль оптической оси системы (рис. 4.18).

Из принципа равного оптического пути вытекает, что длины всех лучей, соединяющих одинаковы. Следовательно, если обозначить через V точечную характеристику среды, то

где некоторая функция, не зависящая от лучевых компонент. Используя основные соотношения (4.1.7), выражающие лучевые компоненты через точечную характеристику, и пренебрегая членами, содержащими вторую и более высокие степени длины, получим из (1)

где — лучевые компоненты произвольной пары соответствующих лучей, проходящих через Необходимо отметить, что на величину лучевых компонент не наложено никакого ограничения, хотя вначале и предполагалось, что точки расположены вблизи

Два случая представляют особый интерес, а именно: лежат соответственно в плоскостях лежат на оси симметрии. Эти случая будут исследованы отдельно.

4.5.1. Условие синусов.

Не уменьшая общности рассуждений, можно и здесь рассматривать только точки, лежащие в меридиональной плоскости Если лежит в плоскости а — в плоскости то (2) принимает вид

Это соотношение справедливо для любой пары сопряженных лучей. Поэтому оно должно быть справедливым и для осевой пары Следовательно.

Таким образом, (3) запишется следующим образом:

или в явном виде

где углы, образованные соответствующими лучами, проходящими через с осью показатели преломления среды в пространствах предмета и изображения. Соотношение (6) называется условием синусов; это то условие, при выполнении которого небольшая часть плоскости предмета, лежащей вблизи оси, резко отображается расходящимся пучком лучей с любой угловой апертурой. Если угловое расхождение достаточно мало, то можно заменить соответственно на и условие синусов перейдег в формулу Смита—Гельмгольца (4.4.49).

Если предмет находится на бесконечности, то условие синусов имеет другой вид. Предположим сначала, что осевая точка предмета расположена на большом расстоянии от первой поверхности. Если - абсцисса этой точки в системе координат с центром в первом фокусе и -расстояние от оси точки пересечения луча, выходящего из осевой точки, с первой поверхностью, то и постоянном . Следовательно, если достаточно велико, то (6) принимает вид

Но согласно а согласно так что в пределе выражение (6) сводится к (рис. 4.19)

Отсюда следует, что любой луч, падающий параллельно оси, пересечет сопряженный ему луч на сфере радиуса с центром в фокусе

Говорят, что две осевые точки образуют апланатическую пару, если, во-первых, они являются стигматическими изображениями одна другой и, во-вторых, сопряженные лучи, проходящие через них, удовлетворяют условию синусов. Мы уже встречались с такими точками при изучении преломления лучей сферической поверхности (см. п. 4.2.3).

В терминах теории аберраций (см. гл. 5) осевой стигматизм означает, что в разложении характеристической функции отсутствуют члены, не зависящие от расстояния предмета до оси, т. е. отсутствует сферическая аберрация всех порядков.

Рис. 4.19. Условие синусов в случае, когда предмет находится в бесконечности.

Если же выполняется еще и условие синусов, то пропадают члены, содержащие расстояние до оси в первой степени; эти члены описывают аберрацию, которая называется круговой комой.

Условие синусов играет важную роль при конструировании различных оптических систем, поскольку оно дает информацию о качестве изображения точек, не расположенных на оси, выраженную через свойства аксиальных пучков.

4.5.2. Условие Гершеля.

Рассмотрим теперь случай, когда находятся на оси системы Условие резкого отображения (2) примет тогда вид

или через

В частном случае осевого луча получим

Следовательно, (10) можно представить в виде

Это соотношение является одной из форм запиаусловия Гершеля. Поскольку предполагается, что расстояния от начала координат малы, то на основании формулы Максвелла (4.4.52) найдем

и тогда условие Гершеля можно записать следующим образом:

Если это условие выполнено, то любой элемент оси, расположенный вблизи будет резко отображаться пучком лучей независимо от величины его углового расхождения.

Необходимо отметить, что условие синусов и условие Гершеля могут удовлетворяться одновременно лишь в случае Тогда т. е. продольное и поперечное увеличения равны отношению показателей преломления среды в пространстве предмета и в пространстве изображения.