1.3.4. Волновые пакеты. Групповая скорость.

Монохроматические волны, рассматриваемые в предыдущем разделе, — это идеализация, никогда строго не реализующаяся на практике. Из теоремы Фурье следует, что любую волну (если она удовлетворяет определенным, очень общим условиям) можно рассматривать как суперпозицию монохроматических волн разных частот, а именно

Здесь снова удобно воспользоваться комплексным представлением, в котором V отождествляется с вещественной частью соответствующей комплексной волны

Если фурье-амплитуды заметно отличаются от нуля лишь внутри: узкого интервала

вблизи средней частоты то волну можно назвать «почти монохроматической».

В этом случае мы обычно говорим о волновой группе, или волновом пакете.

Для иллюстрации некоторых основных свойств волновой группы рассмотрим вначале волну, которая распространяется вдоль оси и образована в результате суперпозиции двух плоских монохроматических волн с одинаковыми амплитудами и слегка различными частотами и волновыми числами

В соответствии с принятым ранее соглашением символ здесь опущен. Уравнение (34) можно записать в форме

где

— средняя частота и среднее волновое число соответственно. Можно считать что выражение (35) описывает плоскую волну с частотой и длиной волны распространяющуюся в направлении оси Однако амплитуда этой волны не постоянна, а изменяется во времени и пространстве от нуля до значения 2а

Рис. 1.5. Простая волновая группа. А — волна ; Б — волна ; В — волновая группа .

Абсцисса представляет одну из дяух независимых переменных или тогда как другая сохраняется постоянной (рис. 1.5), что вызывает хорошо известное явление биений. Соседние максимумы функции, описывающей амплитуду, находятся на расстояниях

а максимумы функции, связанной с фазой, — на расстояниях

Следовательно, поскольку считается, что малы по сравнению с единицей, амплитуда будет меняться медленно по сравнению с изменением другого члена

Из (35) вытекает, что плоскости постоянной амплитуды и, в частности, максимумы амплитуды распространяются со скоростью

тогда как плоскости постоянной фазы распространяются со скоростью

Величина называется групповой скоростью волны. Поскольку V удовлетворяет волновому уравнению, частота и волновое число связаны друг с другом, в среде с показателем преломления (см. (21))

здесь показатель преломления зависит от Уравнение (41) выражает дисперсию волны. В недиспергирующей среде не зависит от в такой среде и фазовая скорость и групповая скорость равны Однако в диспергирующей среде эти скорости в общем случае различны.

Так как, но предположению, мало, можно заменить дифференциальным соотношением тогда выражение для групповой скорости запишется в виде

Мы покажем, что фактически это соотношение выполняется при более общих условиях. Рассмотрим одномерную волновую группу

где означает небольшой интервал вблизи средней частоты в котором заметно отличается от нуля. Пусть — соответствующее волновое число. Тогда последнее соотношение можно переписать с форме

где

если достаточно мало. Снова V можно интерпретировать как плоскую волну с переменной амплитудой, частотой и волновым числом к, распространяющиеся в направлении . Амплитуда представляет суперпозицию гармонических волн с частотами Так как мало по сравнению с единицей, А медленно меняется по сравнению с изменением второго члена.

В общем случае А комплексно и дает вклад в фазу Как мы

видим, поверхности

играют особую роль: на каждой такой поверхности постоянно. Следовательно, скорость перемещения какого-либо значения А, а также максимума определяется, как и раньше, групповой скоростью

Легко показать справедливость следующих соотношений между групповой и фазовой скоростями:

причем все величины здесь относятся к средней частоте .

Наконец, рассмотрим трехмерную группу общего вида

По аналогии с (43) выделим член, соответствующий средней частоте и для достаточно малых напишем

где

Выражение (50) представляет волну с частотой амплитуда которой (обычно комплексная) меняется и в пространстве, и во времени, причем ее изменение также медленно по сравнению с изменением второго члена. Можно ожидать, по аналогии с (46), что поверхность

будет играть особую роль. Однако теперь амплитудная функция А не обязательно постоянна на каждой такой поверхности, так как здесь фурье-амплитуды зависят не только от частоты, но и от положения. Значение поверхности, описываемой (52), станет ясным, если мы будем рассматривать абсолютную величину амплитуды Имеем

Очевидно, что мнимая часть двойного интеграла равна нулю, так как величина вещественна. (Формально в этом легко убедиться, если поменять местами независимые переменные и заметить, что при этом мнимая часть подынтегрального выражения меняет знак.) Следовательно,

Рассматривая какую-нибудь определенную точку и вспоминая, что либо положительно, либо равно нулю, мы видим, что достигает максимального значения, когда аргумент косинуса равен нулю, т. е. когда Таким образом, соотношение (52) представляет поверхности.

на которых в момент времени абсолютное значение амплитуды максимально в указанном выше смысле. Поэтому в общем случае разумно определить групповую скорость трехмерной волновой группы как скорость, с которой перемещаются эти поверхности. Рассмотрим малое смешение где — единичный вектор в направлении нормали к поверхности. Согласно (52) соответствующее изменение определяется выражением

и, следовательно, в общем случае групповая скорость трехмерной группы равна

Это выражение нужно сравнивать с выражением для фазовой скорости гармонической волны общего вида (31), т. е. с

В частном случае распространения группы плоских волн в направлении имеем и (56) переходит в (47)

Как ясно из предыдущего, эффективный интервал частот представляет собой важный параметр, относящийся к волновой группе; по существу эта величина определяет скорость изменения амплитуды и фазы. Если дисперсия среды невелика, волновая группа проходит значительное расстояние без заметного «размытия» При таких обстоятельствах групповая скорость, которую можно считать скоростью распространения группы как целого, является также скоростью распространения энергии (см., например, [15, 16]). Однако в общем случае это неверно. В частности, в области аномальной дисперсии (см. п. 2.3.4) групповая скорость может превысить скорость света или стать отрицательной; в таких случаях она уже не имеет физического смысла.