ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ОБЫЧНАЯ ОПТИКА, ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА

В 1831 г. Вильям Гамильтон обнаружил аналогию между траекториями материальных частиц в потенциальных полях и траекториями световых лучей в средах с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Благодаря своему математическому изяществу аналогия Гамильтона излагалась в течение почти ста лет в учебниках по динамике, но практически ее никто не применял до 1925 г., когда Буш впервые объяснил фокусирующее действие электрических и магнитных полей на электронные пучки, пользуясь оптической терминологией. Примерно в то же время Шредингер воспользовался аналогией Гамильтона для получения своего уравнения, позволившего перейти от геометрической оптики к волновой оптике частиц; при этом он использовал понятие длины волны частиц, впервые предложенное в 1923 г. де Бройлем.

Практическая электронная оптика начала бурно развиваться с 1928 г. В это время аналогия Гамильтона была уже широко известна и ее использование позволило изобрести целый ряд электроннооптичсских приборов (таких, как электронный микроскоп), являющихся аналогами оптических. Хотя математическая аналогия носит общий характер, оптическая и электронная техники различаются между собой. Такие электроннооптические приборы, как электроннолучевые трубки и системы с искривленной оптической осью, не имеют аналогов в обычной оптике. Мы будем рассматривать только такие проблемы электронной оптики, оптические аналоги которых подробно обсуждались в предыдущих главах книги, и поэтому получающиеся результаты после небольшой модификации почти полностью переходят в уже известные. Отметим, что это относится, в частности, к наиболее трудной для понимания главе электронной оптики, а именно к волновой теории аберраций линз.

1. Аналогия Гамильтона в элементарной форме.

Мы сначала покажем, что задачу определения траектории заряженной частицы можно свести к оптической задаче путем введения подходящего показателя преломления, изменяющегося от точки к точке.

Рассмотрим частицу с зарядом и массой и для простоты будем считать ее электроном, движущимся в постоянном электростатическом поле с потенциалом . Из уравнения движения Ньютона имеем

где — вектор импульса. Это уравнение справедливо для любых скоростей V, если ньютоновское определение импульса заменить на эйнштейновское

где с — скорость света в вакууме.

Уравнение движения (1) удобно разбить на два; первое является уравнением траектории, а второе характеризует «временное расписание», согласно которому электрон движется вдоль траектории. Для этого напишем где -единичный вектор в направлении движения. Тогда

Из дифференциальной геометрии известно, что вектор направлен вдоль главной нормали а его абсолютная величина равна кривизне траектории. Следовательно,

Отсюда и из уравнения (1) следует, что мгновенный центр кривизны лежит и плоскости, проходящей через касательную к траектории и вектор электрического поля Разлагая по двум направлениям, имеем

Приравнивая первые члены в левой и правой частях (3), получим скалярное уравнение, которое можно назвать «временным расписанием», поскольку оно определяет положение элсктронн на траектории в зависимости от времени.

I [осле умножения на его можно проинтегрировать, что дает

Это есть эйнштейновский интеграл энергии. Для медленно движущихся частиц он переходит в ньютоновский интеграл

Ограничимся теперь для удобства рассмотрением электронов, для которых постоянные интегрирования одинаковы, т. е. обладающих одинаковой полной энергией. Этот случай соответствует электронам, вылетающим из определенной потенциальной поверхности с нулевой скоростью. Во многих практических задачах такая поверхность совпадает с поверхностью катода. Полагая

т. е. считая поверхность началом отсчета дотенциала V, интеграл энергии можно представить в виде

Комбинируя (2) и (4а), можно написать одно двойное уравнение

Тогда абсолютная величина импульса этих частиц, выраженная через координаты примет вид

Рассмотрим теперь вторую часть (3), т. е. компоненту, перпендикулярную к направлению движения,

Выражая и V с помощью (2) и (6) через получим простой закон

Уравнение (8) идентично уравнению (3.2.14) для кривизны лучей в среде с показателем преломления если считать, что последний пропорционален таким образом, мы получаем формальную аналогию между траекториями лучей и электронов.

Необходимо подчеркнуть, что абсолютная величина импульса зависит только от координат лишь для электронов с фиксированной полной энергией; для электронов с различными энергиями значение будет другой функцией, «пределяемой (6). Таким образом, показатель преломления зависит от энергии электронов. Это также имеет аналогию в обычной оптике, где показатель преломления среды зависит от длины волны света Позднее будет показано существование довольно глубокой аналогии, поскольку в обоих случаях показатель преломления оказывается функцией длины волны

Для медленных электронов значение пропорционально скорости, а последняя в свою очередь пропорциональна Использовавшиеся нами

релятивистские уравнения имеют следующее преимущество: они ясно показывают, что характеристической величиной служит не скорость, а импульс. Более того, найденные результаты допускают немедленное обобщение на случай общего статического поли, электрического и магнитного. Из теории относительности хорошо известно, что при наличии магнитного поля механический импульс который будет теперь обозначаться через заменяется на «полный» импульс

где А — векторный потенциал. Отсюда можно заключить, что к общем случае показатель преломления, который в электростатике пропорционален компоненте в направлении движения, должен заменяться на компоненту в том же направлении. Такое предположение оказывается справедливым, однако при рассмотрении законов электронной оптики при наличии электромагнитны полей мы все же прибегнем к более строгому и общему обоснованию.