ПРИЛОЖЕНИЕ 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛЕММА, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ПРИ СТРОГОМ ВЫВОДЕ ЗАКОНА ЛОРЕНТЦ — ЛОРЕНЦА

В настоящем приложении мы докажем лемму, используемую в - согласно которой

при Здесь — произвольная векторная функция координат и Интегралы берутся по объему, ограниченному снаружи поверхностью и внутри поверхностью сферы о радиуса а, центр которой находится в точке Р с радиусом-вектором . обозначает расстояние где — радиус-вектор элемента объема

Пусть А — произвольная векторная функция координат. Компоненты имеют вид

и т. д., так что

Тогда для произвольной дифференцируемой скалярной функции имеем

где — поверхность небольшой сферы радиуса а с центром в точке . Для определения предела в (3) заметим, что разность двух интегралов характеризует вклады от двух областей, заштрихованных на рис. 9. Элемент объема можно записать в виде

где — элемент поверхности и — х-компопента единичного радиального вектора выходящего из точки Р. Следовательно,

Рис. 9. К вычислению предела .

Центр о расположен а точке , и центр — в точке

Положив где или — любая декартова компонента вектора получим из (3) и (4)

Рассмотрим далее частные производные второго порядка. Продифференцировав последнее соотношение по х и снова используя его, находим

Поскольку

где — элемент телесного угла, имеем при

здесь — поверхность единичной сферы. Последний интеграл в (6) обращается в нуль при в результате чего получим

Смешанные вторые частные производные можно вычислить таким же образом. Например, имеем

Член теперь отсутствует, поскольку интеграл, соответствуюашй (8), равен

т. e. стремится к нулю при

Подставляя уравнения вида (9) и (10) в (2), получим при

Аналогичные выражашя находим и для и -компонент. Комбинируя эти три соотношения, получим векторную формулу (1).