9.1.2. Теорема смещения. Изменение опорной сферы.
Пусть 
— две функции аберраций, причем
где 
— постоянные порядка 
. Далее пусть 
соответствующие нормированные интенсивности Тогда из (9) имеем
где
Аналогичное выражение справедливо и Для 
Согласно (10) последнее выражение можно представить в виде
где
В соответствии с (2) и (4) уравнения (14) описывают преобразование
Из (11) и (13) вытекает, что
Таким образом, мы доказали следующую теорему смещения. Добавление к функции аберраций члена 
, где 
—постоянные порядка X, не изменяет трехмерного распределения интенсивности света близ фокуса, а только смещает его как целое в соответствии с преобразованиями (15), иными словами, происходит смещение на величину 
вдоль главного направления 
от выходного зрачка и на величины 
вдоль положительных направлений осей х и у соответственно.
Рис. 9.2. Изменение опорной сферы.
Аддитивные члены в правой части (10) можно рассматривать как величины, характеризующие изменение опорной сферы Гаусса. Предположим, что мы выбрали новую опорную сферу с центром в точке 
вблизи изображения и радиусом 
причем ее расстояние до опорной сферы Гаусса не превышает нескольких длин волн. Пусть 
— точка пересечения луча 
с этой новой опорной сферой Тогда функция аберрации Ф, отнесенная к новой сфере, имеет вид (см. рис. 9.2)
где 
— точка пересечения линии 
с опорной сферой Гаусса, а показатель преломления среды в пространстве изображения считается, как и раньше, равным единице. Величина 
есть волновая аберрация, отнесенная к опорной сфере Гаусса, 
расстояние от 
до Р. Следовательно, (17) можно переписать в виде
и 
определяются (3) и (4), где координаты 
нужно заменить на 
Соотношение (18) можно представить в форме (10), если положить
