ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУХ ИНТЕГРАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В П. 12.2.2
В настоящем приложении мы вычислим интегралы (12.2.8) и (12.2.9), т. е.
где
Рассмотрим два случая, а именно:
(а) 
, где у и 
- постоянные, а область интегрирования представляет собой слой
которого исключена небольшая сфера исчезающе малого радиуса с центром в начале координат 
или 
область интегрирования совпадает со всем слоем
Для вычисления применим теорему Гаусса, записанную в виде
где 
— произвольная векторная функция координат, 
- единичный вектор внешней нэомали к поверхности 
ограничивающем объем Положим
тогда из (1) и (4) получим
Поскольку на обеих сторонах 
слоя, то в случае (б) интеграл 
. В случае (а) мы должны также учесть вклад 
небольшой сферы 
с центром в начале координат. Если а — радиус сферы, то 
и этот вклад равен
Следовательно,
Прежде чем вычислять а, отметим, что интегрирование по исчезающе малой ссре с центром в начале координат не дает никакого вклада, поскольку подынтегральное выражение содержит только особенность порядка 
Полому в случае (а), как и в случае б), нужно интегрировать
но всему объему слоя, т. е.
где
Выберем в (10) новые независимые переменные 
определяемые соотношениями
где корни в (11а) и (116) берутся со знаком плюс. На плоскости 
кривые 
имеют вид эллипсов, а 
-угол между радиусом-вектором и большой осью эллипса. При 
эллипс вырождается в точку. Таким образом, всей плоскости 
соответствуют следующие интервалы значений 
Следовательно,
где
является якобианом нашего преобразования. Из (3) и (11а) находим
а из (По; имеем
Кроме того, справедливо тождество
пли, используя (3) и (11а),
Из (13), (14) и (15) следует, что
Подставим теперь (16) в (12). Интегрирование по 
дает сразу же множитель 
Интегрирование по 
тоже не представляет труда, и мы
получим
где на основании таких же физических соображений, как и ранее, мы отбросили осциллирующий вклад от бесконечности.
Подставляем теперь (17) в (9) и вычисляем получившийся интеграл.
Имеем
где
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
