4.4.5. Произвольная центрированная система.

Было показано, что в приближении параксиальной оптики преломление и отражение лучей на поверхности вращения описывается проективными соотношениями между величинами, относящимися к пространствам предмета и изображения Поскольку, согласно § 4.3, последовательное применение нескольких проективных преобразований эквивалентно одному проективному преобразованию, в этом приближении отображение центрированной системой тоже оказывается таким преобразованием. Используя формулы, приведенные в пп. 4.4.1, 4.4.2 и 4.4.4, можно найти кардинальные точки эквивалентного преобразования.

Рис. 4.16. Система из двух центрированных тонких линз.

Наше рассмотрение будет в основном посвящено выводу важного инвариантного соотношения, справедливого (в принятом приближении) для любой центрированной системы.

Пусть — последовательные поверхности системы, соответствующие фокусные расстояния и показатели преломления соответствующих сред (рис. 4.17).

Рис. 4.17. К выводу формулы Смита — Гельмгольца.

Далее, пусть — две точки в пространстве предмета, расположенные в меридиональной плоскости, а — их изображения последовательными поверхностями. В системе координат с началом в фокусе первой поверхности координаты точек связаны соотношениями

Следовательно,

Пусть

Тогда из (42) и (43) найдем

Согласно так что последнее уравнение принимает вид

Аналогичным образом получим выражение для преломления на второй поверхности

т. е. в общем случае

Следовательно, есть инвариант последовательных преобразований. Этот результат играет важную роль в геометрической теории построения изображения. Если положить (см. рис. 4.17), то (48) примет вид

В рассматриваемом нами приближении можно заменить соответственно на тогда мы получим формулу Смита-Гельмгольца

Величина называется инвариантом Смита—Гельмгольца.

Из (48) и (49) можно вывести целый ряд важных следствий. Поскольку обычно интересуются только соотношениями между величинами, относящимися к первой и последней средам (пространство предмета и пространство изображения), мы будем в дальнейшем опускать все индексы и обозначать величины, относящиеся к этим двум средам, соответственно нештрихованными и штрихованными символами. Пусть две соседние точки в пространстве предмета, а — сопряженные им точки. Применяя формулу Смита—Гельмгольца, получим

В пределе при находим

Согласно следовательно, последнее выражение принимает вид

Это соотношение называется формулой Максвелла для относительного увеличения. Из нее следует, что продольное увеличение равно квадрату поперечного увеличения, умноженному на отношение показателей преломления . В § 4.3

была выведена аналогичная формула (13), связывающая увеличения и отношение фокусных расстояний. Сравнивая последнюю с (52), получим

т. е. отношение фокусных расстояний прибора равно отношению показателей преломления взятому со знаком минус.

Из формулы Смита-Гельмгольца следует также, что

т. е. произведение поперечного и углового увеличений не зависит от выбора сопряженных плоскостей.

До сих пор предполагалось, что система состоит только из преломляющих поверхностей. Если же одна из них (скажем, представляет собой зеркало, то вместо (48) находим

где знак минус появился из-за того, что в случае отражения , тогда как в случае преломления Поэтому в окончательной формуле нужно заменить . Такую же замену следует провести и в более общем случае, когда система содержит нечетное число зеркал; если же система содержит четное число зеркал, то окончательная формула не изменяется.