§ 4.6. Астигматические пучки лучей

Прямолинейные лучи, имеющие общую точку, образуют так называемый гомоцентрический пучок. Волновые фронты в этом случае имеют вид сферических поверхностей, центры которых находятся в точке пересечения лучей, В предыдущих разделах мы изучали именно такие пучки.

Обычно после преломления или отражения лучей их гомоцентричность нарушается. Поэтому целесообразно исследовать свойства пучков прямолинейных лучей более общего типа.

4.6.1. Фокальные свойства тонкого пучка.

Пусть — один из волновых фронтов пучка прямолинейных лучей, произвольная точка на нем (рис. 4.20). Рассмотрим плоскость, проходящую через луч в точке Р, и обозначим кривую пересечения этой плоскости с через С.

Рис. 4.20 Тонкий пучок лучей.

Поскольку лучи пучка нормальны к поверхности центр круга кривизны в точке Р расположен на луче, проходящем через эту точку.

Если теперь поворачивать рассматриваемую плоскость вокруг луча, то кривая С, а следовательно, и радиус кривизны будут изменяться непрерывным образом. При повороте плоскости на 180° величина радиуса кривизны пройдет через свои максимальное и минимальное значения. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать, что две плоскости, в которых лежат максимальный и минимальный радиусы кривизны, взаимно перпендикулярны. Эти плоскости называются главными плоскостями для точки Р, а соответствующие радиусы — главными радиусами кривизны. Кривые на поверхности касающиеся во всех своих точках главных плоскостей, образуют два взаимно ортогональных семейства кривых, называемых линиями кривизны.

В первом приближении две нормали к поверхности в смежных ее точках, вообще говоря, не пересекаются. Однако если эти точки находятся на линии кривизны, то нормали пересекаются и точка их пересечения служит фокусом конгруэнции, образованной нормалями (лучами). Следовательно, в согласии с общими выводами п. 3.2.3 на каждой нормали имеются два фокуса, которые являются главными центрами кривизны. Поэтому каустическая поверхность пучка прямолинейных лучей состоит в общем случае из двух листов и служит эволютой волновых фронтов; волновые фронты в свою очередь являются эвольвентами каустической поверхности. Если волновые фронты представляют собой поверхности вращения, то один лист каустической поверхности вырождается в отрезок оси вращения, а другой становится поверхностью вращения, меридиональное сечение которой являегся эволютой меридионального сечения волнового фронта.

Рассмотрим тонкий пучок лучей, пересекающих элемент волнового фронта. В качестве границы элемента удобно выбрать две пары линий кривизны, которые можно считать отрезками дуг окружностей. Два из них

направлены по вертикали, а два других по горизонтали (см. рис. 4.20).

Все лучи, проходящие через дугу пересекутся (с точностью до членов первого порядка малости) в фокусе , а лучи, проходящие через — в фокусе . Линия соединяющая называется фокальной линией пучка и, как видно из чертежа, лежит в горизонтальной плоскости. Лучам, проходящим через соответствует вертикальная фокальная линия .

Если провести линии кривизны через любую точку на то соответствующие им фокусы окажутся на двух фокальных линиях, и наоборот. Таким образом, приближенная модель тонкого пучка лучей получается путем соединения всех пар точек на двух: взаимно ортогональных отрезках линий.

Луч проходящий через центральную точку Р, называется центральным (или главным) лучом пучка, а расстояние между фокальными линиями, измеренное вдоль этого луча, — астигматической разностью пучка. Две плоскости, проходящие через и называются фокальными плоскостями пучка; эти плоскости перпендикулярны друг к другу. Однако фокальные линии не обязательно перпендикулярны к центральному лучу (как часто неверно утверждается в литературе). Рассмотрим, например, семейство волновых фронтов, обладающих цилиндрической симметрией относительно общей оси (рис. 4.21). Пусть элемент поверхности (не содержащий осевую точку) одного из волновых фронтов, — участок кривой пересечения с плоскостью, проходящей через ось. Тогда ясно, что фокальная линия в центре кривизны К элемента кривой ортогональна этой плоскости. Другая фокальная линия совпадает с отрезком оси, ограниченным нормалями к концам . В общем случае эта фокальная линии не ортогональна I.