8.7.2. Интегралы Френеля.

Пусть — прямоугольник со сторонами, параллельными осям и тогда интегралы (9) можно упростить еще больше, используя следующие тождества:

В этом случае для вычисления (9) мы должны рассмотреть интегралы

Интегралы и называются интегралами Френеля. имеют большое значение при решении многих дифракционных задач и хорошо изучены. Мы должны кратко познакомиться с некоторыми их особенностями.

Сначала получим выражения для в виде рядов. Для этого разложим косинус и синус под знаком интеграла в степенные ряды и, интегрируя почленно, найдем

Эти ряды сходятся при всех значениях однако для вычислений они пригодны только при малом Когда велико, интегралы можно вычислить, пользуясь разложением в ряды по отрицательным степеням Перепишем виде

Интегрируя по частям, получим

Снова интегрируя по частям и продолжая этот процесс, получим

и аналогично

где

Для вычисления интегралов объединим их в один комплексный интеграл

и введем новую переменную интегрирования

Вещественный путь интегрирования Отоо переходит в комплексной плоскости и путь, лежащий вдоль линии, проходящей через начало координат под углом 45° к вещественной оси. Далее, легко заметить, что если интеграл берется вдоль линии, параллельной мнимой оси, то с увеличением расстояния от начала координат он начинает стремиться к нулю. В этом случае из теоремы о вычетах Коши следует, что интеграл, взятый вдоль любой наклонной линии, проходящей через начало координат, равен значению интеграла, взятого вдоль вещественной оси. Таким образом,

(Вещественный интеграл по является хорошо известным интегралом ошибок Гаусса и его величина равна Следовательно,

Соотношения (15) вместе с (16) и (18) выражают интегралы Френеля в виде рядов по отрицательным степеням Если велико, эти расходящиеся (асимптотически) ряды обеспечивают хорошую аппроксимацию интегралов при учете небольшого числа членов разложения (см. приложение 3).

Поведение интегралов Френеля хорошо иллюстрируется изящным геометрическим построением Корню . В качестве декартовых координат точки Р берутся и Переменная принимает все возможные значения, и поэтому точка Р описывает некую кривую. Поскольку кривая проходит через начало координат, и поскольку

она антисимметрична относительно обеих осей. Если — элемент дуги нашей кривой, то

Следовательно, если I измеряется в направлении увеличения то параметр представляет длину дуги кривой, измеряемую от начала координат.

Пусть угол между касательной к кривой и осью 8. Тогда

Следовательно, возрастает монотонно с увеличением Так как когда то в начале координат касательная к кривой совпадает с осью Когда то и касательная перпендикулярна к оси .

Если , то и касательная к кривой снова параллельна оси но ориентирована в отрицательном направлении. Согласно соотношениям (18) и

1/2, и обе ветви кривой приближаются к точкам с координатами Такая кривая называется спиралью Корню (рис. 8.35); она полезна при рассмотрении общих свойств дифракционных картин Френеля.

Рис. 8.35. Спираль Корню.