2. Аналогия Гамильтона в вариационной форме.

Законы геометрической оптики можно вывести из принципа Ферма (см. п. 3.3.2), согласно которому путь света между двумя какими-нибудь точками Р, и обеспечивает оптической длины, т. е.

Необходимо напомнить, что такая строгая формулировка принципа Ферма справедлива лишь в том случае, когда две концевые точки расположены достаточно близко друг от друга или, что то же самое, когда на отрезке луча, соединяющего эти точки, нет изображения ни точки ни точки Если служит изображением то уравнение (10) определяет не луч, а бесконечно тонкий пучок лучей, соединяющих эти две точки и проходящих равные оптические пути. Если расстояние между настолько велико, что между ними имеется изображение, то луч определяется из слабой формулировки принципа Ферма

такой формулировке соответствует не максимальное, как иногда ошибочно утверждают, а стационарное значение интеграла, которое не является ни максимальным, ни минимальным.

Некоторые следствия из принципа Ферма обсуждались в п. 11 приложения 1 при вычислении вариаций. В п. 12 того же приложения было показано, что движение системы материальных точек также можно записать в вариационной форме, используя принцип Гамильтона, который в частном случае одной материальной точки имеет вид

Такая формулировка справедлива в любой системе координат, но мы ограничимся для простоты декартовыми координатами Здесь — компоненты скорости, — лагранжиан. Положение начальной и конечной точек рассматривается в четырехмерном пространстве — времени и считается неизменным в вариационном процессе. В приложении 1 (см. (77) и было показано, как из (11) получить уравнения движения в форме Лагранжа и в форме Гамильтона.

Для релятивистского электрона с зарядом с и массой покоя лагранжиан имеет вид

Здесь - вектор скорости, — электростатический потенциал, А — магнитный или векторный потенциал. Лагранжиан (12) можно проверить, если подставить его в уравнения движения Лагранжа (см. (77) приложения 1) и использовать электромагнитные соотношения (2.1.5) и (2.1.7)

Уравнения Лагранжа принимают тогда вид

т. е. совпадают с уравнениями движения в форме Ньютона — Лоренца.

Принцип Гамильтона (11) является слишком общим для электронной оптики. Во-первых, в соответствующую вариационную задачу входит время, которое не представляет никакого интереса, если поля стационарны. Во-вторых, решение этой задачи содержит пятипараметрическое семейство экстремалей; четыре параметра обусловлены тем, что при данном значении полной энергии точки можно свободно выбирать на любых двух заданных поверхностях, а пятый тем, что значение полной энергии считается произвольным. В электронной оптике, как и в обычной оптике, стремятся по возможности уменьшить число измерений.

Рассмотрим сначала фиксированную энергию, другими словами, ограничимся обсуждением монохроматического света или моноэнергетических электронов. Как следует из (87) приложения 1, число измерений задачи уменьшается при этом на единицу. Принцип Гамильтона (11) заменяется принципом наименьшего действия

где Е — полная энергия, т. е.

Время входит в соотношение (14) лишь формально, так как после подстановки в него выражения для Е получим

Во втором и третьем выражениях опущены так как мы рассматриваем только постоянные во времени ноля (в противном случае полная энергия не оставалась бы постоянной), в которых начальный момент не играет роли, а время полностью определяется траекторией и величиной энергии.

Таким образом, принцип наименьшего действия (14) полностью аналогичен принципу Ферма (10). Изучение движения электрона сводится к оптической задаче, если определить электронно-оптический показатель преломления как компоненту импульса в направлении движения. Для чисто электростатического поля этот результат эквивалентен результату, полученному выше из более простых соображений. В этом случае импульс оказывается чисто механическим и параллельным траектории, а его абсолютная величина дается

выражением (2), т. е.

При наличии магнитного поля необходимо использовать общее определение компонент импульса (см. соотношение (74) приложения 1) как производных от лагранжиана по компонентам скорости. Для одной частицы с лагранжианом (12) получим

и т. д. В векторном виде имеем

Таким образом, общее выражение для электроннооптического показателя преломления имеет, с точностью до произвольного постоянною множителя, следующий вид:

где — компонента векторного потенциала в направлении движения. Необходимо еще раз подчеркнуть, что эту величину следует рассматривать как функцию положения электронов с заданной полной энергией.

По-видимому, имеется существенное различие между общим случаем и частным случаем чисто электрических полей. В электрическом поле показатель преломления пропорционален механическому импульсу, т. е. измеряемом физической величине. В общем же выражении (17) второй член представляет собой компоненту векторного потенциала, являющегося не физичсскои величиной, а функцией, ротор которой равен магнитной индукции В. Таким образом, электронноошический показатель преломления представляет собой в общем случае не физическую величину, а функнию Лагранжа. Однако, как уже упоминалось, он является физической величиной в частном случае чисто электрического поля. В обоих случаях к этим выражениям можно добавить компоненту градиента в направлении движения от произвольной функции координат, не изменяя при этом ни одного физического следствия.

Существует более важное различие между частным и общим случаями, которое проще пояснить, если провести дальнейшие упрощения и свести четырехпараметрическое семейство траекторий к двухпараметрическому . Для этого выберем такие траектории, которые начинаются на какой-то поверхности и нормальны к ней. В геометрической оптике эту поверхность можно считать волновым фронтом; нетрудно показать, что пучок траекторий остается ортогональным семейству поверхностей (теорема Малюса и Дюпина, см. п. 3.3.3).

Как было показано выше (см. пп. 2 и 3 приложения 1), какая-то «ортогональность» существует и в общем случае, однако ее физический смысл сложнее смысла теоремы Малюса—Дюпина. В этом случае семейству поверхностей ортогонален не единичный вектор в направлении движения, а импульс Поскольку векторный потенциал не определен однозначно, существует бесконечное множество семейств ортогональных новерхноелеи; однако при наличии магнитного поля никакими калибровочными преобразованиями их нельзя сделать перпендикулярными к траекториям.

На языке геометрии двумерные пучки кривых, ортогональные семейству поверхностей, образуют «нормальную конгруэнцию», в противном случае они

образуют «косую конгруэнцию» (см. п. 3.2.3). В обычной оптике и электростатической электронной оптике траектории образуют нормальные конгруэнции, а ортогональные им поверхности отождествляются с «волновыми фронтами». При наличии магнитного поля двумерные пучки траекторий образуют косые конгруэнции, к которым нельзя применить понятие ортогональных волновых фронтов. В лом и состоит довольно существенное различие между электронной и обычной оптикой.