§ 14.6. Поглощающие кристаллы

14.6.1. Распространение света в поглощающих анизотропных средах.

Оптические свойства кристаллических сред, которые мы рассматривали до сих пор, описывались тензором диэлектрической проницаемости Для описания не только анизотропной, но и поглощающей среды необходимо дополнительно ввести тензор проводимости Вообще говоря, направления главных осей обоих тензоров не совпадают, и поэтому теория распространения света в таких средах довольно сложна. Однако эти направления совпадают для кристаллов высокого класса симметрии (по крайней мере для кристаллов ромбической системы). Мы ограничимся рассмотрением кристаллов такого типа, так как все существенные особенности общей теории можно проиллюстрировать с их помощью. Для таких кристаллов следует лишь заменить вещественные диэлектрические проницаемости комплексными проницаемостями Мы покажем, что формально сохраняются все предыдущие формулы кристаллооптики при условии, что все величины, зависящие от считаются комплексными.

Начнем с уравнений Максвелла для проводящей среды, а именно с уравнений

и рассмотрим распространение плоской затухающей волны. В комплексной записи каждый из векторов пропорционален

По аналогии с (14.2.3) мы получаем уравнения

Полагая и исключая Н из этих уравнений, найдем

Если выбрать оси координат в направлении главных осей тензора диэлектрической проницаемости (которые, по нашему предположению, совпадают с направлениями главных осей тензора проводимости), то мы получим

Подставляя выражения (4) в (3) и вводя комплексные диэлектрические проницаемости

находим вместо (3) выражение

Формально оно идентично соотношению (14.2.18), но вещественные постоянные заменены комплексными постоянными . Переписывая последнее соотношение в форме

мы получим, привлекая те же соображения, что и с § 14.2 (или просто используя формальную подстановку уравнение Френеля

Вводя комплексные скорости

и т. д, мы снова можем записать уравнение Френеля в форме (14.2.24), т. е.

Полученные выше соотношения полностью аналогичны соотношениям, относящимся к непоглощающим кристаллам; однако их физические интерпретации несколько различны. Из выражений (8) или (10) мы снова получаем квадратичное уравнение относительно т. е. находим два показателя преломления и два главных колебания и соответствующих каждому заданному направлению распространении Из (7) мы видим, что отношения , комплексны, так что в общем случае главные колебания поляризованы теперь не линейно, а по эллипсу. Еще одно отличие состоит в том, что векторы электрического смещения больше перпендикулярны к волновой нормали Действительно, из первого уравнения (2) при скалярном умножении на получим уравнение

и правая его часть в общем случае не равна нулю. Однако если отношения малы по сравнению с единицей, составляющая вектора в направлении мала по сравнению с самим вектором

Дальнейший анализ значительно упрощается, если поглощение считается малым, т. е. если металлы исключаются, а рассматриваются лишь среды, которые до известной степени прозрачны. Этим случаем мы и ограничимся Формально слабое поглощение означает, что можно пренебречь членами второго порядка относительно показателя затухания по сравнению с единицей. Поэтому, используя (9), можно записать

Аналогичные выражения можно написать для каждого из индексов вапример, Кроме того,

где Сравнение с (5) даег

Возвратимся к уравнению Френеля (10) и отделим его вещественную часть от мнимой. Один из членов (10) имеет вид

отсюда следует, что вещественная часть (10) представляет собой уравнение Френеля в старой форме (14.2.24). Для мнимой части находим

При любом заданном направлении волновой нормали в общем случае уравнение Френеля дает, как и раньше, дна значения фазовой скорости Часть энергии, переносимой двумя волнами, в этом случае поглощается, и уравнение (16) дает приближенные значения для двух показателей затухания.

Выражение для «можно записать в другом виде. Используя (4), (7), (9) и (13), найдем

Здесь также оставлены лишь члены первого порядка относительно показателя затухания. Теперь мнимый член в (17) содержит разность величин к и во многих случаях оказывается пренебрежимо малым. Это означает, что мы пренебрегаем эллиптичностью колебаний. В таком приближении направления двух векторов принадлежащих любой данной волновой нормали совпадают с их направлениями для непоглощающего кристалла, который обладает такими же (вещественными) главными диэлектрическими проницаемостями. Тогда имеем

и (16) можно переписать в виде

Очевидно, что эта формула может стать неверной, если приблизится к одной из главных скоростей так как мнимая часть в (17), которой мы пренебрегли, содержит в знаменателе разность (см. конец п. 14.6.3).

Поскольку коэффициенты к и соответствующие данному направлению - волновой нормали в общем случае различны, две волны поглощаются по-разному. Оба коэффициента могут зависеть от частоты и меняться различным образом с частотой; поэтому, если на кристалл будет падать белый свет, то в общем случае кристалл окажется окрашенным и его цвет будет зависеть от направления колебаний в падающем свете. Это явление называется плеохроизмом; в случае одноосного кристалла обычно говорят о дихроизме, в случае двухосного кристалла о трихроизме).

Для одноосного кристалла кроме того, все соотношения принимают более простую форму. Как и в случае

непоглощающих кристаллов, уравнение Френеля разбивается на два (см. п. 14.3.2), т. е.

где, как и прежде, — угол, который волновая нормаль образует с оптической осью. Первое уравнение при разделении вещественной и мнимой частей дает

а из вторрго находим

здесь мы вновь пренебрегли членами, содержащими члены второго порядка относительно показателей затухания. Мы видим, что поглощение обыкновенной волны одинаково для всех направлений распространения.

Для двухосного кристалла все соотношения оказываются значительно сложнее, и мы ограничимся специальными случаями, представляющими интерес. Как и в п. 14.3.3, вначале рассмотрим те направления распространения, для которых . Тогда из уравнения Френеля (10) получаются уравнения, аналогичные (14.3.6), т. е.

Разделяя вещественную и мнимую части, мы получим две скорости и два показателя затухания, соответствующие направлению волновой нормали а именно

Аналогичные соотношения, конечно, выполняются и для направлений распространения, перпендикулярных к осям

В общем случае не существует вещественных значений для которых оба корня одинаковы. Можно найти направления, для которых равны вещественные фазовые скорости но соответствующие показатели затухания в общем случае не одинаковы.

В качестве второго случая мы рассмотрим распространение света в направлениях, не очень сильно отличающихся от направления оптической оси волновых нормалей. Для того чтобы можно было применить (19), нужно определить направления и Это можно сделать, используя результат, установленный в согласно которому две плоскости колебании делят пополам углы между плоскостями , где — оси волновых нормалей. Пусть угол между плоскостью и плоскостью в которой лежат обе оптические оси. Так как плоскость почти параллельна плоскости из упомянутой выше теоремы следует, что угол между и плоскостью почти равен (рис. 14.29). Следовательно, проекция вектора на плоскость равна Чтобы получить составляющую вдоль оси х, мы должны найти проекцию этого отрезка на ось х. Так как направления и приблизительно совпадают, угол между отрезком и осью х почти равен углу между оптической осью и осью ,

Рис. 14.29. К теории поглощающих кристаллов.

следовательно (рис. 14.30), . Аналогичным образом определяются и другие составляющие. Итак,

Вектор ортогонален к его составляющие сразу же можно получить, заменяя в (24а) на что дает

Подставим два йоследних выражения в (19) и используем приближение которое вполне оправдано, поскольку мы ограничиваемся направлениями, не слишком отличающимися от направления оптической оси. Таким образом, мы получаем для искомых показателей затухания к и к" соотношения

Рис. 14.30. К теории поглощающих кристаллов.

Учитывая приближение, в котором получена формула (19), нельзя ожидать, что эти формулы останутся справедливыми, когда направление будет мало отличаться от направления оптической оси. В предельном случае, когда волновая нормаль направлена вдоль оптической оси, угол становится неопределенным. Для получения в этом случае соответствующих показателей затухания возвратимся к уравнению Френеля. При любом направлении в плоскости мы получим, как в уравнениях (23), приравнивая вещественные и мнимые части,

В частности, для оптической оси где — гол между каждой из оптических осей и осью определяемый (14.3.11). Кроме того, и правые части уравнений (26) примут вид (если мы еще напишем вместо и вместо )

Здесь — показатель затухания для волны поляризованной в плоскости, перпендикулярной к плоскости оптических осей, а — показатель затухания для волны поляризованной в плоскости осей. Таким образом, поглощение волны, распространяющейся в направлении оптической оси, зависит от направления ее колебаний.

Удобно выразить через показатели и азимут поляризации подставляя (27) в (25). Это дает