ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

§ 3.1. Приближение очень коротких длин волн

Электромагнитное поле видимого света характеризуется очень быстрыми колебаниями (с частотой порядка ), или, что то же, малостью длин волн (порядка Поэтому можно ожидать, что для законов распространения видимого света получится хорошее первое приближение, если полностью пренебречь конечностью длин волн. Оказывается, что такая процедура справедлива при решении многих оптических задач; более того, физические явления, которые не описываются этой приближенной теорией (так называемые дифракционные явления, рассматривающиеся в гл. 8), можно обнаружить лишь с помощью очень тонких экспериментов.

Раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, что соответствует предельному переходу , называется геометрической оптикой, поскольку в этом приближении оптические законы можно сформулировать на языке геометрии. В рамках геометрической оптики считается, что энергия распространяется вдоль определенных кривых (световых лучей). Физическую модель пучка световых лучей можно получить, если пропустить свет от источника пренебрежимо малого размера через небольшое отверстие в непрозрачном экране. Свет, выходящий из отверстия, заполняет область, граница которой (край пучка лучей) кажется на первый взгляд резкой. Однако более тщательное исследование показывает, что интенсивность света около границы изменяется хотя и быстро, но непрерывно, от нуля в области тени до максимального значения в освещенной области, Это изменение не является монотонным, а носит периодический характер, что приводит к появлению светлых и темных полос, называемых дифракционными. Размер области, в которой происходит это быстрое изменение интенсивности света, порядка длины волны. Следовательно, если длина волны пренебрежимо мала по сравнению с размерами отверстия, то можно говорить о пучке световых лучей с резкой границей. При уменьшении размеров отверстия до величины, сравнимой с длиной волны, возникают эффекты, для объяснения которых требуется более тонкое исследование, Однако если ограничиться рассмотрением предельного случая пренебрежимо малых длин волн, то на размер отверстия не накладывается никакого ограничения и можно считать, что из отверстия исчезающе малых размеров выходит бесконечно тонкий пучок света — световой луч. Будем показано, что изменение поперечного сечения пучка световых лучей служит мерой изменения интенсивности света. Кроме того, мы увидим, что с каждым лучом можно связать состояние поляризации и исследовать его изменение вдоль луча.

Далее будет показано, что для коротких длин волн общий характер поля такой же, как и в случае плоской волны; более того, законы преломления и отражения, установленные для плоской волны, падающей на плоскую границу, остаются в приближении геометрической оптики справедливыми и при более общих условиях. Следовательно, если на резкую границу (например,

поверхность линзы) падает луч света, то он разделяется на отраженный и преломленный лучи, а изменение состояния поляризации и отражательную, и пропускательную способности можно вычислить из соответствующих формул для плоских волн.

Из приведенных выше рассуждений следует, что для достаточно коротких длин волн полное объяснение оптических явлений можно получить из геометрических соображений путем определения пути световых лучей и соответствующих им интенсивности и состояния поляризации Сформулируем теперь соответствующие законы, переходя в уравнениях Максвелла к пределу .

3.1.1. Вывод уравнения эйконала.

Рассмотрим гармонически меняющееся со временем поле общего вида

в непроводящей изотропной среде. являются комплексными векторными функциями положения и, как показано в п. 1.4.3, вещественные части стоящих справа выражений (1) описывают физические поля.

Комплексные векторы удовлетворяют уравнениям Максвелла в форме, не зависящей от времени, которые получаются при подстановке выражений (1) в уравнения (1.1.1)-(1.1.4). В областях, свободных от токов И зарядов уравнения Максвелла имеют вид

При выводе этих уравнений были использованы материальные соотношения , как и раньше, соотношения где — длина волны в вакууме

Ранее было показано, что однородная плоская волна, распространяющаяся в среде с показателем преломления в направлении, определяемом единичным вектором описывается следующими выражениями:

где и — постоянные векторы, в общем случае комплексные. Для монохроматического поля электрического дицоля в вакууме было найдено (см. § 2 2)

где расстояние от диполя. Здесь векторы и уже не являются постоянными, но на достаточно больших расстояниях от диполя и при соответствующей нормировке дипольного момента они не зависят от

На основании этого разумно предположить, что в областях, расположенных на расстояниях многих длин волн источника, поля более общего типа можно представить в виде

где - «оптический путь» — вещественная скалярная функция положения, а — векторные функции положения, в общем случае комплексные.

Подстановка (8) в качестве пробного решения в уравнения Максвелла дает несколько соотношений между . Будет показано, что в случае больших k (малых ) из этих соотношений вытекает требование, чтобы величина удовлетворяла некоторому дифференциальному уравнению, не зависящему от векторных амплитуд

Используя хорошо известные векторные тождества, получив из (8)

и аналогичные выражения для Следовательно, уравнения (2) — (5) примут вид

Нас интересует решение, соответствующее случаю очень больших . Поэтому правыми частями уравнений (11)-(14) можно пренебречь, если выражения, которые умножаются на не будут чрезвычайно большими. В этом случае уравнения (11)-(14) запишутся следующим образом:

Ограничимся изучением лишь уравнений (11а) и (12а), так как (13а) и (14а) получаются из них, если первые скалярно умножить на . Уравнения (11а) и (12а) можно рассматривать как совместную систему шести однородных линейных скалярных уравнений относительно декартовых компонент векторов . Эта система имеет нетривиальное решение лишь в случае выполнения условия совместности (равенство нулю соответствующего определителя). Последнее легко получить, исключая или из (11а) и (12а). Подставляя из (12а) в (11а), находим

Первый член обращается в нуль на основании (13а), и поскольку не равно нулю во всем пространстве, находим

или в явном виде

где, как и ранее, показатель преломления. Функцию часто называют эйконалом , а соотношение (156) — уравнением эйконала; оно является

основным уравнением геометрической оптики; Поверхности называются геометрическими волновыми поверхностями или геометрическими волновыми фронтами.

Уравнение эйконала было выведено нами из уравнений Максвелла (дифференциальных уравнений первого порядка), однако его можно получить и из волновых уравнений (уравнений второго порядка) для векторов электрического или магнитного полей. Для этого следует подставить выражения (1) и (8) в волновое уравнение (1.2.5), и тогда после простых преобразований получим

где

Соответствующее уравнение, содержащее и получающееся после подстановки выражения для Н в (1.2.6) (либо, проще, используя то обстоятельство, что уравнения Максвелла остаются неизменными при одновременной замене Е на на ), имеет вид

В случае достаточно больших вторыми и третьими членами в (16) и (17) обычно можно пренебречь; тогда откуда сразу же следует уравнение эйконала. Позднее будет показано, что члены в (16) и (17), содержащие в первой степени, также имеют физическое истолкование.

Можно показать, что во многих важных случаях векторы можно разложить в асимптотические ряды вида

где функции координат, та же функция, что и раньше. Геометрической оптике соответствуют первые члены этих разложений.