ГЛАВА 13. МЕТАЛЛООПТИКА

До сих пор мы рассматривали распространение света в непроводящих изотропных средах. Теперь обратимся к оптике проводящих сред, главным образом металлов. Обычный кусок металла состоит из небольших кристаллов, ориентированных случайным образом. Монокристаллы заметных размеров встречаются редко, но их можно приготовить в лаборатории. Оптические свойства кристаллов рассматриваются в гл. 14. Очевидно, что совокупность случайным образом ориентированных кристаллов ведет себя как изотропное тело, а поскольку в проводящей изотропной среде теория распространения света значительно проще, чем в кристалле, мы довольно подробно рассмотрим ее здесь.

Согласно § 1.1 проводимость связана с выделением джоулева тепла. Это — необратимое явление, при котором электромагнитная энергия исчезает или, точнее, превращается в тепло, в результате чего электромагнитная волна в проводнике затухает. Вследствие чрезвычайно высокой проводимости металлов этот эффект в них сюль велик, что они практически непрозрачны. Указанное свойство позволяет металлам играть важную роль в оптике. Сильное поглощение сопровождается высокой отражательной способностью, так что металлические поверхности служат прекрасными зеркалами. Частичное проникновение света в металл (хотя глубина проникновения и мала) дает возможность получать информацию о константах металлов и механизме поглощения да наблюдений отраженного света.

Вначале мы чисто формально рассмотрим результаты, вытекающие из наличия проводимости, а затем кратко обсудим простую, до некоторой степени идеализированную физическую модель этого явления, основанную на классической электронной теории. Такая модель дает лишь грубое объяснение некоторым из наблюдающихся эффектов; более точную модель можно создать лишь с помощью квантовой механики, однако это выходит за рамки настоящей книги. Формальную теорию мы применим к двум проблемам, представляющим практический интерес: к оптике слоистых сред, содержащих поглощающий элемент, и к дифракции света на металлической сфере.

Чрезвычайно привлекательной математической особенностью теории является то, что наличие проводимости можно учесть, просто вводя вместо вещественной диэлектрической проницаемости комплексную (или комплексный показатель преломления). В металлах преобладает мнимая ее часть.

§ 13.1. Распространение волн в проводнике

Рассмотрим однородную изотропную среду с диэлектрической проницаемостью , магнитной проницаемостью и проводимостью а. Используя материальные уравнения (1.1.9) - (1.1.11), а именно

запишем уравнения Максвелла в виде

Легко видеть, что для электромагнитного возмущения, падающего извне на проводник, мы можем заменить (3) уравнением . Действительно, если мы применим операцию дивергенции к уравнению (1) и используем (3), то получим

Дифференцируя уравнение (3) по времени, найдем

Исключая из двух последних уравнений, получим

или после интегрирования

Таким образом, видно, что любая плотность электрического заряда экспоненциально уменьшается со временем. Время релаксации чрезвычайно мало для любой среды, обладающей заметной проводимостью. Для мегаллов это время значительно меньше периода колебаний волны; например, для света в оранжевой области видимого спектра период колебаний равен сек, тогда как для меди порядка сек. Для любого разумного значения , которого можно ожидать, так мало по сравнению с периодом световой волны, что в металле всегда практически равно нулю. Тогда уравнение (3) можна переписать в виде

Из (1) и (2) после исключения Н и использования (7) следует, что Е удовлетворяет волновому уравнению

Наличие члена с означает затухание волны, т. е. при распространении через, среду волна постепенно ослабевает.

Если поле строго монохроматично и обладает циклической частотой т. е. если Е и Н имеют вид то производная и уравнения (1) и можно переписать следующим обрйзом:

Тогда уравнение (8) примет вид

где

Если в эти уравнения ввести величину

то они формально станут идентичными с соответствующими уравнениями для непроводящих сред, где фигурирует вещественная диэлектрическая проницаемость .

Аналогия с непроводящими средами станет еще ближе, если, кроме комплексного волнового числа и комплексной диэлектрической проницаемости ввести также комплексную фазовую скорость и комплексный показатель преломления которые по аналогии с (1.2.8), (1.2.12) и (1.3.21) определяются как

Положим

где пик вещественны, и назовем к показателем затухания. Величины пик легко выразить через материальные постоянные . Возводя в квадрат обе части (15), получим

Кроме того, и (13) имеем

Приравнивая вещественные и мнимые части в этих двух выражениях для получим

Отсюда следует, что

Здесь выбран положительный квадратный корень, так как вещественны, а следовательно, должны быть положительными.

Уравнение (11) формально идентично волновому уравнению для непроводящей среды, но теперь волновое число комплексно. Простейшим решением (11) служит плоская гармоническая во времени волна

Если в соответствии с (14) и (15) подставить значение из соотношения примет вид

Вещественная часть этого выражения, а именно

представляющая собой электрический вектор, является плоской волной длиной затухание которой определяется экспоненциальным членом. Так как. плотность энергии волны пропорциональна среднему по времени от то ясно, что будет уменьшаться в соответствии с законом

где

Здесь — длина волны в вакууме, X — длина волны в среде. Постоянная называется коэффициентом поглощения.

Плотность энергии падает в раз на расстоянии , где

Обычно эта величина составляет очень малую долю длины волны (см. табл. 13.1).

Таблица 13.1. «Глубина проникновения» излучения с различными длинами волн для меди

Возвращаясь к уравнениям (17), мы видим, что когда первое уравнение точно переходит в соотношение Максвелла а второе дает Для металлов и фактически так велико, что в (17) можно пренебречь величиной а по сравнению с . Чтобы оценить порядок рассматриваемых величин, заметим, что для большинства металлов и поэтому для (что соответствует частоте . Диэлектрическую проницаемость металла невозможно измерить прямо, по как мы покажем, ее легко получить из оптических экспериментов. Однако меланизмы электрической поляризации в металлах и диэлектриках не могут Фундаментально отличаться друг от друга, и поэтому мы вправе предположить, что в обоих типах сред одинаково по порядку величины. Следовательно, для не слишком коротких длин волн можно считать, что

Уравнения (17) и (22) переходят при этом в

Идеальный проводник характеризуется бесконечной проводимостью . Так как, согласно (16), то в этом предельном случае

или на основании Такой проводник вообще не позволял бы электромагнитной волне проникать на какую-либо глубину и отражал бы весь падающий свет (см. ниже, § 13.2).

Если показатель преломления прозрачных веществ можно легко измерить по углу преломления, то такие измерения для металлов исключительно трудны, так как металлический образец, пропускающий заметную долю падающего света, должен быть чрезвычайно тонким. Тем не менее Кундту [1] удалось изготовить металлические призмы и провести прямые измерения вещественной и мнимой частей комплексного показателя преломления. Однако обычно оптические постоянные металлов определяются посредством катоптрических, а не диоптрических экспериментов, т. е. путем изучения тех изменении, которые возникают при отражении света от металла, а не при прохождении через него.