10.7.2. Строгая формулировка закона распространения взаимной когерентности.

Обратимся вновь к стационарному волновому полю в вакууме. Пусть — любые две точки поля — любая воображаемая поверхность, окружающая эти точки. Если лапласиан по координатам точки то, согласно (5а), мы получим

Отсюда следует, что мы вправе использовать для Г интегральную формулу Кирхгофа (8.3.13). Таким образом, функцию можно выразить через значения где принимает все положения на поверхности , а квадратные скобки с индексом означают запаздывание относительно , т. е.

Здесь расстояние между Выписывая формулу Кирхгофа в явном виде, получим

Здесь означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к А в точке и

(10) Согласно (56) мы получим также

где — лапласиан по координатам точки

Рис. 10.16. Обозначения, используемые при строгой формулировке закона распространения взаимной когерентности.

Следовательно, величину , которая появляется в правой части (9), можно выразить в форме интеграла Кирхгофа, содержащего значения где принимает все возможные положения на поверхности А, а скобки с индексом означают запаздывание относительно т. е.

Здесь — расстояние между . Соответствующая формула в явном виде запишется следующим образом:

Здесь означает дифференцирование вдоль внутренней нормали в точке — те же величины, что и в (10), но с индексом 2. Продифференцировав (13) по и получим

Подставляя (13), (14) и (15) в (9), найдем следующее выражение для

Первыми двумя аргументами функции Г, стоящей в правой части (16), являются а скобки означают запаздывание относительно обеих переменных например,

Наконец, используем предположение о стационарности, которое означает, что Г зависит лишь от разности временных аргументов. Запишем, как и раньше, . Тогда и выражение (16) примет вид

Первыми двумя аргументами функции Г, стоящей в правой части (18), являются , а скобки означают «запаздывание» на величину например,

Формулу (18) можно считать строгой формулировкой закона распространения взаимной когерентности (10.6.17). Она выражает значение взаимной функции когерентности для любых двух точек через значения этой функции и некоторых ее производных для всех пар точек на произвольной замкнутой поверхности, окружающей обе эти точки.

В специальном случае совпадения точек мы получим из подставляя следующее выражение для интенсивности:

Здесь — интенсивности в точках соответственно, и т. д. Формулу (20) можно считать строгой формулировкой теоремы, выражаемой уравнением (10.6.18). Она определяет интенсивность в произвольной точке через распределение интенсивности и комплексную степень когерентности (и некоторых производных от этих величин) на произвольной поверхности, окружающей