§ 9.1. Дифракционный интеграл при наличии аберраций

9.1.1. Дифракционный интеграл.

Рассмотрим центрированную оптическую систему с точечным источником монохроматического света (рис. 9.1). Выберем декартову систему координат, начало которой находится в месте параксиального изображения точки , а ось направлена вдоль , где С — центр выходного зрачка. Ось у лежит в меридиональной плоскости (плоскости, в которой лежит точка и ось системы). Обозначим через расстояния от точек до оси.

Как и в гл. 5, деформацию волновых фронтов в области выходного зрачка опишем функцией аберраций Ф. Пусть и точки пересечения луча в пространстве изображения с волновым фронтом, проходящим через С, и опорной сферой Гаусса соответственно.

Рис. 9.1. Выбор системы отсчета и принятые обозначения.

Если предположить, что показатель преломления среды в пространстве изображения равен единице, то Ф (на рис. является расстоянием измеренным вдоль луча.

Пусть — радиус опорной сферы Гаусса расстояние между и произвольной точкой Р, расположенной вблизи изображения. Возмущение в точке описывается величиной где — амплитуда возмущения в точке Согласно принципу Гюйгенса — Френеля возмущение в точке Р равно

где интегрирование проводится по той части опорной сферы Гаусса, которая примерно закрывает выходной зрачок. При написании (1) предполагалось, что входящие в это выражение углы малы, так что можно пренебречь изменением коэффициента наклона лучей по опорной сфере Гаусса: кроме того, предполагалось, что амплитуда волны практически постоянна вдоль волнового фронта, т. е. коэффициент А можно вынести из-под знака интеграла.

Пусть — координаты точек и радиус выходного зрачка. Как и в § 8.8, где рассматривалась волна, свободная от аберраций положим

тогда, как и в (8.8.2) и (8.8.9), имеем

где — «оптические координаты» точки Р, т. е.

Величину Ф удобно рассматривать как функцию

Элемент поверхности опорной сферы Гаусса равен и если угол, который составляет с осью системы, мал, то областью интегрирования в (1) может служить Кроме того, для точек наблюдения, находящихся вблизи изображения, величину стоящую в знаменателе подынтегрального выражения, можно заменить на Таким образом, соотношение (1) после подстановки в него (3) принимает вид

и интенсивность в точке Р равна

Удобно выразить в виде доли интенсивности которая получалась бы в точке параксиального изображения в отсутствие аберраций. Согласно (7)

тогда нормированная интенсивность запишется в виде

В отсутствие аберраций интенсивность максимальна в точке параксиального изображения. При наличии же аберраций максимум интенсивности расположен, в общем случае, в другой точке, которую можно назвать дифракционным фокусом. Часто интерес представляет лишь максимальная интенсивность, получающаяся в определенной плоскости наблюдения; эта величина (если она нормирована, как и (91) называется интенсивностью Штреля.

Из (9) можно сразу же получить несколько простых результатов, которые понадобятся позднее.