9.5.2. Некогерентное освещение.
Рассмотрим теперь случай, когда свет, испускаемый различными участками плоскости предмета, некогерентен, например, когда предмет служит первичным источником. Пусть 
интенсивность в произвольной точке плоскости предмета (здесь используются те же координаты, что и раньше). Интенсивность света, достигающего точки 
в плоскотсти изображения и выходящего из элемента 
с центром в точке предмета 
равна 
, где К — снова функция пропускания системы. Поскольку предполагается, что свет, исходящий из предмета, некогерентен, интенснвности, обусловленные различными элементами плоскости предмета, складываются, так что полная интенсивность в точке 
равна
Если снова ограничиться рассмотрением достаточно малых предметов, то можно заменить (18) на
Отмстим, что замена (18) на (19) не обязательно требует, чтобы функция К удовлетворяла полному условию изоплапатичности (9); достаточно, чтобы только модуль К. удовлетворил 
т. е. чтобы во всей области А, занятой предметом, выполнялось с хорошей точностью соотношение
Исследование Дюмонте [38] показывает, что это условие, как правило, выполняйся довольно точно в значительно большей области плоскости предмета, чем определяемо»: соотношением (9). Следовательно, заменой оптической системы лннейным фильтром можно пользоваться шире для некогерентного, чем для когерентного освещения. Однако для нахождения связи функции частотного отклика с функцией зрачка системы в виде относительно простои формулы (см. ниже формулу (22)) мы ограничимся рассмотрением предметов, размеры которых наеголько малы, - что выполняется полное условие изопланатичности.
Соотношение (19) показывает, что при некогерентном освещении распределение интенсивности в изображении является сверткой распределения интенсивности в предмете, в которое входит квадрат модуля функции пропускания. Представим эти функции в виде интегралов Фурье (10) и обозначим их «пространственные спектры» через 
и 
Тогда с помощью обратного преобразования Фурье получим вместо (11) соотношения
Из (19) на основании теоремы о свертке имеем
Таким образом, переход от предмета к изображению снова эквивалентен действию линейного фильтра, однако в этом случае преобразованию подвергается не пространственный фурье-образ комплексной амплитуды, а фурье-образ интенсивности. Функцией частотного отклика системы служит функция 
которую с помощью (20в), (10в) и теоремы о свертке можно записать в виде
Интеграл в правой части (22) называется автокорреляционной функцией (функции 
); он часто встречается при исследовании многих физических задач статистического характера. Мы с ним еще будем иметь дело позже при изложении частичной когерентности.
Рис. 9.12. Область интегрирования (за-штрихована), относящаяся к вычислению функции часшого отклика 
при некогеречтном освещении для дары частот 
Ранее было показано, что 
есть значение функции зрачка 
соответствующей точке опорной сферы Гаусса. Подставив (13) в (22), получим
таким образом мы установили, что при некогерентном освещении функция частотного отклика системы 
равна с точностью до постоянного множителя автокорреляционной функции зрачка системы. Пусть 
— площадь выходного зрачка. Поскольку функция зрачка 
равна нулю за границами отверстия, то площадь участка плоскости 
на котором подынтегральное выражение в (23) не обращается в пуль, равна площади области, общей для отверстия 
и такого же отверстия, но смещенного относительно первого на расстояния 
в направлении отрицательных и 
(см. рис. 9.12). Когда величины 
настолько велики, что эти две области не перекрываются, функция частотного отклика равна, очевидно, нулю; таким образом, как и при когерентном освещении, система пропускает лишь те пространственные гармоники, частота которых не превышает опредеи иной максимальной величины. В частности, в случае отверстия в виде круга ридиуса а эти области не перекрываются, если 
или если
Проводя те же рассуждения, что и при вьшоде (17) из (15), нетрудно показать, что при использовании некогерентного освещения апланатическая система может пропускать информацию только о таких компонентах, для периода которых справедливо неравенство
Как мы видим, предельное значение в этом случае точно равно половине соответствующей величины, получающейся при когерентном освещении.
Хотя функция частотного отклика системы зависит от двух переменных 
и 
в принципе можно получить полную информацию о ней с помощью экспериментов с одномерными пробными предметами. Рассмотрим для этого пару
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
частот 
и введем полярные координаты в пространстве частот 
Предположим теперь, что оси повернулись в своей плоскости на угол 
в положительном направлении 
. Тогда 
преобразуются в 
остается, очевидно, неизменной. Мы можем выбрать угол поворота 
равным 
при котором новая ось 
) 
лежать вдоль линии 
(см. рис. 9.12). Тогда 
и можно заключить, что значение функции частотного отклика 3 оптической системы для пары частот 
равно значению функции частотного отклика одномерной структуры с частотой 
и направлением периодичности, составляющим угол 
с меридиональной плоскостью 
Этот результат существенно упрощает получение аналитических выражений для функции частотного отклика для любой системы. Аналогичный результат справедлив, конечно, и для функции частотного отклика 
в случае когерентного освещения, однако он имеет значительно меньшее практическое значение.
Рис. 9.16 Нормированные кривые частотного отклика для некогерен гиого оевьщепия при наличии первичного астигыатизща 
Плпскость изображения расположена писсчндино между тангенциальной и сгитгальноп срок 
Пиши линиями. Линии на а периодичны вдоль меридиана 
а на б - вдоль меридианов 
или 
Числа на кривых указывают значения параметра 
Рассмотрим теперь частотный отклик свободной от аберраций, но слегка расфокусированной центрированной системы.
Из обсуждения, изложенного в 
следует, что смещение плоскости изображения на небольшое расстояние 
в положительном направлении оси 
формально эквивалентно введению волновой аберрации, равной
таким образом, если на опорной сфере Гаусса амплитуда волны постоянна, то с точностью до постоянного множителя функция зрачка запишется в виде
Функцию частотного отклика можно найти из (23) и (27); полученные таким способом графики представлены на рис. 9.13 и 9.14. Из них видно, что при больших частотах отклик системы быстро спадает, если смещение фокуса превышает значение, соответствующее 
т. е. значение 
На рис. 9.15 и 9.16 показаны кривые частотного отклика для систем с первичной сферической аберрацией и первичным астигматизмом
Обзор технических средств, использующихся для измерения частотного отклика, приведен в [43].
