§ 13.3. Элементарная электронная теория оптических постоянных металлов

Формальная теория, развитая в предыдущих разделах, рассматривает металл как непрерывную проводящую среду, характеризуемую диэлектрической проницаемостью магнитнои проницаемостью и электрической проводимостью а. Как мы видели, эту теорию нельзя считать достаточно удовлетворительной в оптической области электромагнитного спектра. Лучшей представляется теория, которая рассматривает металл как бесструктурную а как систему фиксированных ионизированных атомов металла и свободно (или почти свободно) движущихся между ними электронов. В соответствии с (13 1.7) полный свободный заряд в металле равен нулю, но можно предположить, что именно подвижность свободных электронов служит причинои зависимое оптических постоянных металла от частоты падающего излучения. Если рассматривать электроны как частицы, подчиняющиеся законам классическои механики, то такая теория по-прежнему не будет удовлетворительно описывать все наблюдаемые особенности поведения металла. Полное согласие с экспериментом способен дать лишь подход, основанный на квантовой механике. Однако такое рассмотрение выходит за рамки настоящей книги. мы лишь кратко укажем, как классическая атомистическая модель объясняет, по крайней мере до известной степени, те расхождения, с которыми мы столкнулись.

Рассмотрим электроны, движущиеся через решетку, образованную ионами. Они движутся практически свободно, за исключением коротких периодов столкновений с ионами, и течение которых между ионами и электронами происходит обмен небольшими количествами энергии. Мы не можем входить в детальное исследование этого процесса, который необходимо рассматривать с помощью статистических методов кинетической теории газов. Весьма правдоподобным представляется вывод о том, что указанный процесс в среднем можно характеризовать определенной сплои трения, пропорциональной и пропшоположпои по направлению скорости движения некоторой квазичастицы Поведение этой квазичастицы, являющейся моделью электрона, отражает среднее поведение всей системы электронов Уравнение движения такого модельного электрона в электрическом поле Е запишется в виде

где — масса, — заряд электрона и — показатель затухания, отнесенный к единице массы. Для того чтобы понять смысл постоянной рассмотрим вначале случай, когда электрическое поле отсутствует. Если то

Решение этого уравнения имеет вид

Мы видим, что в данном случае электрон экспоненциально замедляется, начиная от скорости причем показатель затухания равен Время называется временем затухания.

Рассмотрим теперь гармоническое во времениполе Тогда решение уравнения (1) является суммой двух членов, один из которых представляет затухающее движение (решение однородного уравнения (2)), а другой описывает периодическое движение

Периодическое движение вносит в поляризацию среды вклад . Если в единице объема содержится свободных электронов, то полная поляризация Р, обусловленная всеми электронами, равна

Так как отсюда следует, что

Поскольку (при то, приравнивая отдельно вещественные и мнимые части и используя уравнения (13.1.16), получим

Если невелико, то для достаточно малых значений со величина в отрицательна Критическое значение при котором в меняет знак, определяется выражением

Используя это выражение, можно переписать уравнения (7) в виде

Предположим, что значительно больше тогда вместо (8) мы можем написать

Если ограничиться также достаточно высокими частотами , то вместо (9) получим более простые формулы

Из (11а) следует, что если то отрицательно и . Мы видим теперь, что отрицательное значение вещественной части диэлектрической проницаемости имеет вполне определенный смысл. Оно указывает, что поле, возникающее в результате колебаний электронов, находится в противофазе с возбуждающим полем. Отражательная способность, определяемая выражением (13.2 28), в рассматриваемом случае очень велика. Если же со то принимает положительное значение, к не превышает единицы и отражательная способность падает до чрезвычайно низкого значения. Среда становится довольно прозрачной, похожей на диэлектрик.

Именно такие явления наблюдаются в случае щелочных металлов. В области длинных волн они непрозрачны и обладают высоким отражением, тогда как при некоторой критической длине волны в видимой или ультрафиолетовой области спектра они становятся прозрачными и сравнительно мало поглощают. Во второй строке табл. 13.3 указаны экспериментально найденные длины волн, при которых происходит такой переход.

Таблица 13.3. (см. скан) Критические длины волн

В третьей строке приведены критические длины воли рассчитанные по приближенной формуле (10), где число свободных электронов считается равным числу атомов в единице объема. Как мы видим, для всех металлов, кроме натрия, наблюдаемые и рассчитанные значения критических длин волн различны. Последняя строчка содержит отношение концентрации «эффективных» электронов к концентрации атомов, найденное из соотношения

Как мы видим, это число порядка единицы, хотя и заметно меньше (для всех металлов, кроме натрия). Итак, элементарная теория дает правильный порядок величины параметров, но не описывает деталей явления.

Предложенную выше теорию можно улучшить, если вместо грубых приближений использовать более точные формулы (9), содержащие показатель затухания Однако расчет невозможен в рамках классической теории и требует привлечения квантовой механики. Еще одним указанием на неудовлетворительность классической модели служит появление другой области

непрозрачности при коротких длинах волн, которая не предсказывается нашими формулами. Наличие этой области можно объяснить на основе квантовой механики как результат поглощения, связанного с внутренним фотоэффекты. За счет энергии падающего света электроны с их нормальных орбш переходят в возбужденные состояния. Однако такие соображения выходят за рамки настоящей книги.