значений
можно представить в виде интеграла (11), не зависящего от пути интегрирования при правильном выборе функций и и V, а именно при
. Следовательно, не только
не зависят от пути интегрирования. Поскольку
мы вправе написать
и из (11) получим
где
Аналогичные выражения справедливы и для других двух производных.
Так как величины интегралов (30) не зависят от пути интегрирования, выражения
являются полными дифференциалами; таким образом, величины
и
— функции только концевых точек
т. е. существуют поверхности, скажем
определяемые постоянными значениями
здесь
постоянные. Следовательно, соотношения (33) должны быть решениями дифференциальных уравнений
Отсюда следует, что на поверхностях
и тогда из (32) вытекает (34), если соответствующий определитель не равен нулю. Согласно (31) этот определитель можно записать в виде
Первый множитель в правой части равен выражению (9), которое, по предположению, отлично от нуля. Второй множитель обращается в нуль только в тех точках, где уравнения (34) не имеют решения для а и
другими словами, — в точках, где экстремали пересекаются. Если исключить такие случаи, то выражения (34) будут представлять собой двухпараметрические
системы дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет
решений; полная совокупность решений должна совпадать с полным четырехпараметрическим
семейством экстремалей. Мы Доказали, что решения уравнений
образуют полное четырехпараметрическое
семейство экстремалей; следовательно, для получения полной системы
экстремалей из полного решения уравнения Гамильтона—Якоби
необходимо только, согласно (33) и (36), продифференцировать его и привести подобные члены,