ГЛАВА 10. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ЧАСТИЧНО КОГЕРЕНТНОГО СВЕТА

§ 10.1. Введение

До сих пор мы имели дело главным образом с монохроматическим светом, излучаемым точечным источником. Свет от реального физического источника никогда не бывает строго монохроматическим, так как даже самая узкая спектральная линия обладает конечной шириной. Кроме того, физический источник имеет конечные размеры и состоит из огромного числа элементарных излучателей (атомов). Согласно теореме Фурье возмущение, создаваемое таким источником, можно выразить в виде суммы строго монохроматических и поэтому бесконечно длинных волновых цугов. В элементарной теории, оперирующей с монохроматическим светом, по существу рассматривается одна компонента такого фурье-представления.

В монохроматическом волновом поле амплитуда колебаний в любой точке Р постоянна, тогда как фаза линейно меняется со временем. В отличие от этого в волновом поле, создаваемом реальным источником, амплитуда и фаза претерпевают нерегулярные флуктуации, частота которых существенно зависит от эффективной ширины спектра Комплексная амплитуда остается более пли менее постоянной лишь в течение промежутка времени малого по сравнению с величиной, обратной эффективной ширине спектра Изменение разности фаз любых двух фурье-компонент за этот промежуток значительно меньше и поэтому сумма таких компонент представляет собой возмущение, которое в течение указанного промежутка времени ведет себя подобно монохроматической волне со средней частотой. Однако для более длинного интервала времени это несправедливо. Характеристическое время равно по порядку величины времени когерентности введенному в п. 7.5.8.

Рассмотрим световые возмущения в двух точках Р, и в волновом поле, создаваемом протяженным кназнмонохроматическим источником. Для простоты предположим, что волновое поле создается в вакууме, а расстояние от источника до точек составляет много длин воли. Можно ожидать, что при достаточной близости друг к другу флуктуации амплитуд и фаз возмущения в этих точках не будут независимыми. Если так близки друг к другу, что разность между расстояниями до любой точки источника мала по сравнению со средней длиной волны к, то разумно предположить, что флуктуации амплитуд и фаз в и одинаковы. Можно также считать, что между этими флуктуациями будет существовать некоторая корреляция даже при большем удалении от при условии, что для всех точек источника разность расстояний не превышает длину когерентности Таким образом, мы приходим к понятию области когерентности вокруг любой точки Р волнового поля.

Для адекватного описания волнового поля, создаваемого конечным полихроматическим источником, желательно ввести некоторую меру корреляции, существующей между колебаниями в различных точках поля. Естественно полагать, что такая мера будет тесно связана с резкостью интерференционных полос, которые получились бы при сложении колебаний в этих точках. Нужно ожидать резких полос при сильной корреляции (например, когда свет приходит из очень маленького источника, испускающего излучение

в узком спектральном интервале) и полного отсутствия полос в отсутствие корреляции (например, когда каждая из точек получает свет от различных физических источников). Для описания таких ситуаций мы использовали соответственно термины «когерентный» и «некогерентный». В общем случае не реализуется ни одна из этих ситуаций, и нужно говорить о частично когерентных колебаниях.

По-видимому, первые исследования, относящиеся к вопросу о частичной когерентности, были выполнены Верде [1], который изучал размеры области когерентности для света от протяженного первичного источника. Позже в исследованиях Майкельсона была установлена связь между видностью интерференционных полос и распределением яркости по поверхности протяженного первичного источника 12] (см. п. 7.3.6), а также между видностью и распределением энергии в спектральной линии 13] (см. п. 7.5.8). Фактически результаты Майкельсона были интерпретированы на языке корреляций лишь значительно позднее, однако его исследования внесли существенный вклад в формулировку современных теорий частичной когерентности (см. [4]). Первую количественную меру корреляции световых колебаний ввел Лауэ 15] при исследованиях по термодинамике световых пучков. Дальнейший вклад в теорию был внесен Береком [6], который использовал понятие корреляции при исследовании образования изображения в микроскопе.

Новый этап в развитии этого вопроса начался после опубликования статьи Ван-Циттерта [8], который определил совместное распределение вероятностей для световых возмущений в двух любых точках экрана, освещенного протяженным первичным источником. В следующей статье [9] (см. также [10]) он определил распределение вероятностей для световых возмущений в одной про извольной точке, но в два различных момента времени. В пределах точное.и его расчетов распределения вероятностей оказались гауссовыми, и он определил соответствующие коэффициенты корреляции.

Новый, более простой подход к проблеме частичной когерентности был предложен Цернике в важной работе [11], опубликованной в 1938 г. Его определение «степени когерентности» световых колебаний прямо связано с экспериментом. Он получил также ряд ценных результатов, относящихся к этой величине. Хотя степень когерентности, введенная Цернике, для большинства практических случаев эквивалентна коэффициенту корреляции Ван-Циттерта и близка к аналогичной величине, предложенной Лауэ, его методы, по-видимому, особенно хороши для решения практических задач инструментальной оптики. Гопкинс [12] значительно упростил эти методы и применил их к изучению формирования изображения и разрешающей силы.

Перечисленные выше исследования связали два крайних случая, а именно случаи полной когерентности или полной иекогерентности. Однако полученные результаты страдали некоторой ограниченностью, так как они относились главным образом к квазимонохроматическому свету и к случаям с достаточно малой разностью хода интерферирующих пучков. Для рассмотрения более сложных ситуаций и формулировки теории на строгой основе было необходимо дальнейшее обобщение. Оно было выполнено Вольфом [15, 16] и независимо Блаи-Лапьерром и Дюмонте [171; в этих работах были введены более общие корреляционные функции. Оказалось, что такие функции строго удовлетворяют двум волновым уравнениям; отсюда следует, что не только оптическое возмущение, но и корреляция между возмущениями распространяются в форме волн. В свете этого вывода многие из ранее выведенных теорем получают относительно простое истолкование.

Названные выше корреляционные функции характеризуют корреляцию между световыми колебаниями в двух пространственно-временных точках. Такие корреляционные функции «второго порядка» позволяют провести полный анализ обычных оптических экспериментов, в том числе по интерференции и дифракции света от постоянных источников Аналогичные корреляционные функции можно применить и для анализа нестационарных полей, но тогда эти функции необходимо определять через величины, усредненные по ансамблю, а не по времени. (Для стационарного поля усреднения обоих типов обычно приводят к одинаковому резулыату.) Однако мы ограничимся обсуждением лишь стационарных полей, поскольку анализ нестационарных полей требует значительного усложнения математического аппарата и пока нет никаких экспериментов, относящихся к эффектам когерентности при нестационарных световых полях. Для анализа более сложных экспериментов могут потребоваться корреляционные функции более высокого порядка, т. е. такие, для которых сумма степеней величин, характеризующих поле, больше двух. Однако до сих пор подобные корреляционные функции практически не использовались.

Когда свет излучается тепловым источником, например раскаленным веществом или газовым разрядом, мы можем предположить, что совместное распределение героя гное ген для поля в пространственно-временных точках с хорошим приближением будет гауссовым. Как хорошо известно (см. например, [18]), такие распределения полностью определяются корреляционными функциями второю порядка Это означает, что для света от теплового источника все корреляционные функции более высокого порядка можно выразить через корреляционный функции второго порядка. Однако для света нетепловых источников, например лазера, последнее несправедливо

Ряд эффектов когерентности более высокого порядка и соответствующие корреляционные функции кратко оассмотрепы в работах [19, 20] (см также работу Вольфа (|21|, стр. 29), где проведена систематическая классификация эффектов когерентностн).

Глаубер [22| ввел аналогичные квантовомеханические корреляционные функции, а Сударшан [23] рассмотрел связь между классическим и квантовым описаниями (см также [24], где содержится обзор эффектов когерентности второго и более высокого порядков).

Теория частичной когерентности привлекательна тем, что она оперирует с величинами (а именно с корреляционными функциями и с усредненными по времени интенсивностями), которые в принципе можно определить из эксперимента. В этом она является полной противоположностью элементарной оптической волновой теории, где из-за очень большой частоты оптических колебаний основную величину невозможно измерить. В настоящей главе мы будем исследовать свойства частично когерентных волновых полей и проиллюстрируем результаты рядом примеров, представляющих практический интерес. Мы коснемся лишь случая светового поля, но наш анализ юдится и для других полей. В частности, подобный подход может использоваться в связи с корреляционной методикой, применяемой для изучения радиозвезд [25] и для исследования ионосферы с помощью радиоволн [26].

Математическим аппарат, используемый при рассмотрении частичной когерентности, применим также для анализа частичной поляризации. Здесь мы коснемся явлений, которые можно интерпретировать через корреляцию между ортогональными компонентами электромагнитных векторов поля. Первые исследования в этом направлении проведены Дж. Дж. Стоксом [27] (см. также [28]). Современные теории, в которых применяются понятия корреляционных функций и корреляционных матриц, развиты главным образом Винером [29, 30], Перреном [31], Вольфом [16, 32, 33] и Папхаратнамом [34]. Эта проблема будет рассмотрена в заключительном разделе (см. § 10.8) настоящей главы.