12.1.2. Краткое изложение теорий, основанных на уравнениях Максвелла.

В областях, свободных от токов и нарядов, уравнения Максвелла для немагнитной непроводящей среды с диэлектрической проницаемостью зависящей от пространственных координат и времени, имеют вид

Исключая Н из (9а) и используя соотношения и тождество найдем, что

Если теперь воспользоваться выражением рассматривать Е как суперпозицию плоских волн с длинами то мы найдем, что второй член в правой части (10) приблизительно в раз больше первого. Так как в обычных условиях эксперимента к, и значительно меньше единицы, то можно пренебречь этим членом в (10), и мы получим

Рассмотрим теперь с физической точки зрения ситуацию, изображенную на рис. 12.1. Допустим, что падающая монохроматическая плоская электромагнитная волна линейно поляризована и ее электрический вектор перпендикулярен плоскости падения (-поляризация), т. е. направлен вдоль оси . В этом случае из предыдущего следует, что внутри среды компоненты вектора Е будут малыми величинами порядка и поэтому ими можно пренебречь. Следовательно, вне среды также пренебрежимо малы.

Из симметрии задачи ясно, что не зависит от координаты и поэтому, воспользовавшись (4) и (11), получим для уравнение

Чтобы решить его, допустим, что имеет вид

где суммирование ведется по всем целым значениям I (положительным, отрицательным и нулевому).

Подставляя (13) в (12) и приравнивая коэффициенты при каждой экспоненте нулю, получим следующие рекуррентные соотношения для

где штрих обозначает дифференцирование по у. Эти уравнения следует решать при граничных условиях

Не решая (14), можно видеть, что (13) представляет суперпозицию волн с частотами Кроме того, х-компонента

волнового вектора волны с частотой равна в Следовательно, синус угла который нормаль к волне с частотой образует с осью у вне рассеивающей среды, равняется

что находится в согласии с (2). Далее интенсивность в спектре определенного порядка I можно принять равной

Решим (14), предположив сначала, что Напомним, что нужно рассматривать только те решения (14), которые соответствую) световым волнам, движущимся в направлении увеличения у, поэтому, принимая, что в (14) все кроме равны нулю и используя (15), получим в первом приближении

Аналогично, полагая в (14) все кроме равными нулю, находим после несложных расчетов

Здесь использованы также соотношения (5) и (8). Если теперь подставить (18) в уравнение (14) для и для то мы получим поправочный член к и выражение для которые в данном приближении пропорциональны Таким же способом получаются выражения для интенсивности в спектре любого порядка I в виде разложения в ряд по возрастающим степеням 8. Решение в виде такого степенного ряда впервые было получено Бриллюеном [6], применившим, правда, несколько более сложный анализ, чем приведенный здесь. Дэвид 17], следуя изложенному выше методу, получил в явном виде выражения для интенсивностей линий в спектрах первого и второго порядка, предполагая, что интенсивности в спектрах высших порядков пренебрежимо малы. Эти формулы упоминаются ниже (см. (12.2.38).).

Приближение Бриллюэна (а также Дэвида) удобно при 1 или когда степенной ряд сходится быстро. Если эти условия выполняются, то очевидно, что заметная интенсивность будет наблюдаться только в спектрах нескольких первых порядков.

Объяснение одновременного появления спектров многих порядков и приближенные выражения, определяющие их интенсивности, были впервые получены Раманом и Натом [81. Они решили уравнение (14) следующим образом. Полагая в (14)

и вспоминая, что (или меньше этой величины), получим следующие рекуррентные соотношения для

Вводя новую переменную

приведем последнее уравнение к виду

Здесь штрих означает дифференцирование по Так как 1, первый член в правой части обычно порядка т. е. и его можно отбросить. Кроме того, если мы, следуя Раману и Нату, допустим, что и первый член в фигурных скобках равен нулю, то оставшийся ряд уравнений представляет собой рекуррентные соотношения (см., например, [10]), которым удовлетворяют бесселевы функции целого порядка. Используя граничные условия (15), получим для интенсивности в спектре порядка выражение

Следует отмстить, что приближение, сделанное Раманом и Нагом, основано главным образом на пренебрежении для всех Поэтому, если 6 достаточно велико по сравнению с единицей, то это приближение будет хорошо описывать интенсивности в низших порядках. Однако выражения, содержащие функции Бесселя, дают завышенную интенсивность в высших порядках. Это было показано численными расчетами интенсивностей для трех значений параметра , выполненными Экстерманом и Ванье [111. В работе этих авторов решение уравнения (12) в конце концов определяется уравнениями, в основном подобными соотношениям (12.2.18) и (12.2.19).

Наконец, заметим, что были получены решения (21) в виде степенных рядов по возрастающим степеням 1/6 [12, 13]. Эти ряды, по-видимому, имеют довольно ограниченное применение, так как сходятся очень медленно. Другая трактовка, основанная на уравнениях Максвелла, в которой дифракция рассматривается как граничная задача, дана Вагнером [14].