3. Двойные интегралы.

В § 8.3 и 9.1 было показано, что решение задачи о дифракции электромагнитного поля на отверстии сводится к вычислению двойных интегралов типа

где не зависят от а область интегрирования определяется отверстием. Ясно, что интеграл (16) сходен с (14), и его приближенное значение при больших можно также получить с помощью асимптотических разложений.

Естественно, что теория асимптотических разложений двойных интегралов намного сложнее, чем в случае однократных интегралов. Техника интегрирования на комплексной плоскости непосредственно применима лишь для однократных интегралов, поэтому представляется, что для вычисления двойных интегралов следует воспользоваться методами, отличными от изложенных выше.

Случай, когда является вещественной функцией, подробно исследовался Фокке с помощью нейтрализующей функции в работе мы уже ссылались на нее в связи с применением этого метода к однократным интегралам. Анализ показывает, что вклады в асимптотическое разложение вносят лишь области в окрестностях определенных критических точек и что при различных типах таких точек в главных членах соответствующих вкладов появляются разные степени

Существуют три типа критических точек. Исследуем кратко главные члены их вкладов в асимптотическое разложение, не учитывая случаев, когда критическая точка принадлежит одновременно к нескольким типам.

Критической точкой первого рода является точка, лежащая в области интегрирования, в которой

Вблизи этой критической точки, скажем в точке , имеем

где причем частные производные берутся в точке Выберем теперь такие новые переменные интегрирования

что

Тогда искомое асимптотическое приближение интеграла (16) примет вид

квадратный корень во второй строчке выражения (20) берется со знаком плюс, и

Выражение (20) является аналогом асимптотического приближения (15) для однократного интеграла.

Критическими точками второго рода служат точки на кривой, ограничивающей область интегрирования, в которых где есть элемент дуги этой кривой. В отличие от (20), степень в иеэкспонснциальной части главного члена соответствующего вклада в асимптотическое разложение равна не

Наконец, критическими точками третьего рода служат угловые точки на кривой, ограничивающей область интегрирования, т. е. точки, в которых угол наклона кривой терпит разрыв. В этом случае соответствующий множитель равен