10.7.3. Время когерентности и эффективная ширина спектра.

Понятие времени когерентности, которое оказалось полезным при рассмотрении многих проблем, относящихся к полихроматическому свету, было введено в п. 7.5.8 при изучении возмущения, возникающего вследствие суперпозиции идентичных волновых цугов конечной длины. На простом примере (случайная последовательность периодических волновых цугов) мы показали, что время

когерентности и эффективная ширина спектра получающегося возмущения связаны по порядку величины соотношением

Мы упоминали также, что подобное соотношение выполняется и при более общих условиях, если под понимать соответствующие средние величины. В настоящем разделе мы определим эти величины и строго установим искомое соотношение взаимности.

Предположим, что пучок света в точке Р делится на два пучка, которые сводятся вновь после того, как между ними возникла разность хода ст. Получающиеся интерференционные эффекты характеризуются функцией автокогерентности

где — комплексное возмущение в точке — спектральная плотность.

Так как степень когерентности двух интерферирующих пучков выражается в виде разумно (и с математической точки зрения удобно) определить время когерентности света в точке Р как нормированную среднеквадратичную «ширину» функции т. е.

Определим далее эффективную ширину спектра света в точке Р как нормированную среднеквадратичную ширину спектра Г, т. е. как нормированную среднеквадратичную «ширину» квадрата спектральной плотности в области Таким образом,

Чтобы установить требуемое соотношение взаимности, положим

Предположим, что функция непрерывна всюду следовательно, Из (22) вытекает, что и Ф служат фурье-образами друг друга, т. е.

Выражения для принимают вид

где

Выразим далее интеграл (28) через функцию Используя второе из соотношений (26), получим

При переходе от второго выражения к третьему использовано первое из соотношений (26), а также соотношение Последнее выражение получается из предыдущего при интегрировании по частям, если учесть, что при это справедливо, так как, по предположению, интеграл в (29) сходится.

Из (27), (29) и (30) следует, что

В приложении 8 с помощью простой алгебраической аргументации показано, что член в квадратных скобках в правой части (31) больше или равен единице для любой функции Т, для которой существуют интегралы Таким образом, мы установили следующее неравенство взаимности для времени

когерентности и эффективной ширины спектра:

Напомним, что согласно (10.4.5) степень когерентности для двух интерферирующих пучков квазимонохроматического света с одинаковой интенсивностью равна видности полос в точке, соответствующей разности хода между этими пучками. Следовательно, (23) можно переписать в виде

Таким образом, время когерентности для интерферирующих пучков с одинаковой интенсивностью равно нормированному среднеквадратичному значению «ширины» квадрата функции видности.

Данное определение времени когерентности является более удовлетворительным, чем определение, приведенное в п. 7.5.8, поскольку мы здесь не делали специальных предположений о природе элементарных полей, вызывающих возмущение. В самом деле, мы больше не требуем знания деталей поведения быстро флуктуирующей функции а наше определение основывается на поддающейся измерению корреляционной функции Если бы мы хотели сохранить описание интерференционных явлений с помощью элементарных волновых цугов, нам нужно было бы рассматривать как длительность среднего волнового цуга; однако такую интерпретацию следует применять с осторожностью.

Возвращаясь к соотношению (32), мы видим, что знак равенства получается лишь тогда, когда член в квадратных скобках в правой части (31) равен единице; согласно приложению 8 это возможно только в том случае, если — функция Гаусса. Но так как фурье-образ функции Гаусса тоже является функцией Гаусса, а эта последняя отлична от нуля при всех значениях ее аргумента то она не удовлетворяет второму условию (256). Таким образом, знак равенства в (32) никогда не достигается. Однако если частота, соответствующая максимуму функции Гаусса, велика по сравнению со среднеквадратичным значением «ширины» этой функции, то вкладом в и обусловленным отрицательным частотным интервалом, можно пренебречь, и очевидно, что для высокочастотного спектра, встречающегося в оптике, величина произведения не может заметно отличаться от значения, которое соответствует всей кривой Гаусса. Таким образом, знак неравенства в (32) можно заменить знаком порядка величины, т. е.

Приведенное выше определение времени когерентности пригодно, если два интерферирующих пучка получаются из одного делением в точке Р. Однако его легко распространить на случаи, когда два интерферирующих пучка образуются делением в двух точках как, например, в интерференционном эксперименте Юнга. При этом вместо функции автокогерентности следует использовать взаимную функцию когерентности а вместо обычной спектральной плотности взаимную спектральную плотность Единственное различие возникает из-за того, величина комплексна, а — не обязательно чегная функция

и, следовательно, не обязательно равно нулю. Соответствующие выражения имеют вид

Величину Дтцможно назвать взаимным временем когерентности, — взаимной эффективной шириной спектра светового возмущения в точках Изменяя очевидным образом аргументацию, приводившуюся для вывода (32), легко показать, что эти величины удовлетворяют неравенству взаимности

Наконец, обобщая соотношение (33), для квазимонохроматического света получим

Здесь — видность полос, образованных интерферирующими световыми пучками одинаковой интенсивности, идущими от точек