§ 11.6. Трехмерная дифракция плоской волны на полуплоскости

В § 11.5 была решена задача дифракции на полуплоскости произвольной плоской волны, было введено одно только ограничение, а именно, волна должна была распространяться в направлении, нормальном к дифракционному краю. Сейчас будет показано, как простой прием позволяет распространить полученные выше результаты на полностью произвольно падающую плоскую волну.

Допустим, что падающая плоская волна характеризуется фазовым множителем

где, как и раньше, идеально проводящий экран занимает полуплоскость . Углы определяющие направление распространения волны, показаны на рис. 11.15.

Отметим, соотношение (1) получается из двумерной формы, соответствующей при замене на и умножении на . В самом деле, этог метод, применимый к любому двумерному решению волнового уравнения

очевидно, позволяет получить решение и трехмерного волнового уравнения

где входит только через множитель . Кроме того, если — такое решение (3), то легко показать, что два электромагнитных поля, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, имеют вид

и

Рис. 11.15. Направление распространения падающей плоской волны.

При определяет двумерное поле с -поляризацией, (5) — поле с -поляризацией. Если мы будем считать, что имеет вид (1), то (4) и (5) дадут соответственно две плоские волны

и

Здесь множитель везде опущен. Итак, любая плоская волна, изменяющаяся в пространстве в соответствии с (1), определяется двумя компонентами Е (или Н), так как третья компонента определяется уравнением (или Следовательно, любую плоскую волну можно получить соответствующей суперпозицией полей (6) и (7); поэтому в дифракционных задачах без потери общности можно ограничиться двумя случаями, относящимися к таким падающим полям.

Теперь должно быть ясно, что решение дифракционной задачи определяется соотношениями (4), если падающая волна определяется уравнениями (6); этом получается из известного выражения для в двумерном случае заменой на и умножением на Действительно, условие на полуплоскости предполагает также, что там и следовательно, из (4) находим, что на экране как и требуется. Используя (11.5.24) и (11.5.26), получим в явном виде

где

Таким образом, согласно (4) имеем

При выражения (10) сразу же превращаются в соответствующие выражения (11.5.26) и (11.5.28).

Аналогичный результат можно получить таким же образом и в том случае, когда падающая волна определяется (7). Соответствующим двумерным решением при этом является решение для -поляризации, а именно выражение (11.5.44) для Поэтому, как уже отмечалось, можно получить решение для совершенно произвольной падающей плоской волны. Кроме того, простое обобщение аргументов, приведенных в показывает, что поле, возникающее при любом распределении источников, можно представить в виде спектра плоских волн. Следовательно, в принципе, решение дифракционной задачи при любом распределении источников можно найти из решений задач для отдельных плоских волн. Ниже рассматриваются два интересных случая; линейный источник, расположенный параллельно дифракционному краю (двумерная задача), и точечный источник.